Logaritemsko normalna porazdelitev

Logaritemsko normalna porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za logaritemsko normalno porazdelitev.
Zbirna funkcija verjetnosti za logaritemsko normalno porazdelitev.
oznaka	$\log-\mathcal{N}(\mu,\,\sigma^2)$
parametri	$\sigma^2 > 0\!$ $\mu \boldsymbol{\epsilon} R \!$ — parameter lokacije
interval	$x \boldsymbol{\epsilon} (0, \infty)\!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\frac{1}{x\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\!\left[-\frac{\left(\ln x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right]$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$\frac12 + \frac12\,\mathrm{erf}\Big[\frac{\ln x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\Big]$
pričakovana vrednost	$e^{\mu+\sigma^2/2}$
mediana	$e^{\mu}\,$
modus	$e^{\mu-\sigma^2}$
varianca	$(e^{\sigma^2}\!\!-1) e^{2\mu+\sigma^2}$
simetrija	$(e^{\sigma^2}\!\!+2) \sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}$
sploščenost	$e^{4\sigma^2}\!\! + 2e^{3\sigma^2}\!\! + 3e^{2\sigma^2}\!\! - 3$
entropija	$\frac12 + \frac12 \ln(2\pi\sigma^2) + \mu$
funkcija generiranja momentov (mgf)	(določena je samo za negativne vrednosti na intervalu $(0, -\infty]\!$)
karakteristična funkcija	lahko uporabljamo obrazec $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(it)^n}{n!}e^{n\mu+n^2\sigma^2/2}$, ki je asimptotično divergenten, vendar primeren za izračunavanje

Logaritemska normalna porazdelitev (tudi lognormalna porazdelitev ali Galtonova porazdelitev) je družina dvoparametričnih zveznih verjetnostnih porazdelitev slučajne spremenljivke, katere logaritem je normalno porazdeljen.

Lastnosti

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za logaritemsko normalno porazdelitev je

$f_X(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}},\ \ x>0$.

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$F_X(x;\mu,\sigma) = \frac12 \operatorname{erfc}\!\left[-\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right] \!$

kjer je

• $\operatorname{erfc}(x)\!$ komplementarna funkcija napake.

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$e^{\mu+\sigma^2/2}$.

Varianca

Varianca je enaka

$(e^{\sigma^2}\!\!-1) e^{2\mu+\sigma^2}$.

Sploščenost

Sploščenost je

$e^{4\sigma^2}\!\! + 2e^{3\sigma^2}\!\! + 3e^{2\sigma^2}\!\! - 3$.

Koeficient simetrije

Koeficient simetrije je enak

$(e^{\sigma^2}\!\!+2) \sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}$.

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov je določena je samo za negativne vrednosti na intervalu $(0, -\infty]\!$.

Karakteristična funkcija

Za karakteristično funkcijo lahko uporabimo obrazec

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(it)^n}{n!}e^{n\mu+n^2\sigma^2/2}$, ki je sicer asimptotično divergenten, toda je uporaben za izračunavanje.

.

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Če je slučajna spremenljivka $X \!$ porazdeljena po normalni porazdelitvi, kar zapišemo kot $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, potem velja tudi $\exp(X) \sim \operatorname{log-\mathcal{N}}(\mu, \sigma^2).$.

• Če ima slučajna spremenljivka $X \!$ logaritemsko normalno porazdelitev $X \sim \operatorname{log-\mathcal{N}}(\mu, \sigma^2)$, potem je $\ln(X) \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ normalno porazdeljena slučajna spremenljivka.

• Če so $X_j \sim \operatorname{log-\mathcal{N}}(\mu_j, \sigma_j^2)$ statistično neodvisne slučajne spremenljivke, ki so logaritemsko normalno porazdeljene, in če velja $Y = \textstyle\prod_{j=1}^n X_j$, potem je slučajna spremenljivka $X \!$ tudi logaritemsko normalno porazdeljena, kar zapišemo kot

$Y \sim \operatorname{log-\mathcal{N}}\Big(\textstyle \sum_{j=1}^n\mu_j,\ \sum_{j=1}^n \sigma_j^2 \Big).$.

• Če je slučajna spremenljivka $X \!$ porazdeljena logaritemsko normalno $X \sim \operatorname{log-\mathcal{N}}(\mu, \sigma^2)$, potem pravimo, da ima $X + c \!$ premaknjeno logaritemsko normalno porazdelitev.

• Kadar ima slučajna spremenljivka $X \!$ logaritemsko normalno porazdelitev $X \sim \operatorname{log-\mathcal{N}}(\mu, \sigma^2)$, potem ima slučajna spremenljivka $Y = Y.a \!$ tudi logaritemsko normalno porazdelitev $Y \sim \operatorname{log-\mathcal{N}}( \ln a+\mu,\ \sigma^2).$

• Kadar ima slučajna spremenljivka $X \!$ logaritemsko normalno porazdelitev $X \sim \operatorname{log-\mathcal{N}}(\mu, \sigma^2)$, potem ima tudi $Y = 1/X \!$ logaritemsko normalno porazdelitev $Y \sim \operatorname{log-\mathcal{N}}(-\mu,\ \sigma^2).$

Zunanje povezave

• Porazdelitev na MathWorld (v angleščini)

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev