Logaritemska porazdelitev

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Logaritemska porazdelitev
Plot of the logarithmic PMF
Funkcija je določena samo za cela števila.
Povezave med posameznimi točkami je narisana samo zaradi lažje predstave o poteku funkcije.
Zbirna funcija za logarimično porazdelitev.
oznaka Log (p) \!
parametri 0 < p < 1\!
interval k \in \{1,2,3,\dots\}\!
funkcija verjetnosti
(pdf)
\frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{\;p^k}{k}\!
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
1 + \frac{\Beta(p;k+1,0)}{\ln(1-p)}\!
pričakovana vrednost \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p}{1-p}\!
mediana
modus 1
varianca -p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)^2\,\ln^2(1-p)} \!
simetrija zelo komplicirana funkcija
sploščenost zelo komplicirana funkcija
entropija
funkcija generiranja momentov
(mgf)
\frac{\ln(1 - p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}\!
karakteristična funkcija \frac{\ln(1 - p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}\!

Logaritemska porazdelitev je diskretna porazdelitev (nezvezna), ki jo lahko izpeljemo iz Taylorjeve vrste:


 -\ln(1-p)  = p + \frac{p^2}{2} + \frac{p^3}{3} + \cdots.
.

Iz tega se dobi

\sum_{k=1}^{\infty} \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p^k}{k} = 1.

kar vodi do logaritemske porazdelitve

 f(k) = \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p^k}{k}

Uporaba[uredi | uredi kodo]

Logaritemska porazdelitev se uporablja na različnih področjih (zavarovalništvo, fizika, genetika itd). Nekaj primerov [1]:

  • število živali ali rastlin na določenem področju
  • število nakupov v določenem obdobju
  • število parazitov na gostitelju

itd.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija verjetnosti za logaritemsko porazdelitev je:

\frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{\;p^k}{k}\!


Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirna funkcija verjetnosti logaritemske porazdelitve je

1 + \frac{\Beta(p;k+1,0)}{\ln(1-p)}\!

kjer je

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost je enaka

\frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p}{1-p}\!.

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca je enaka

-p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)^2\,\ln^2(1-p)} \!.

Povezave z drugimi porazdelitvami[uredi | uredi kodo]

Negativna binomska porazdelitev[uredi | uredi kodo]

Skupina logaritemsko porazdeljenih slučajnih spremenljivk ima negativno binomsko porazdelitev. To pomeni: če je N slučajna spremenljivka s Poissonovo porazdelitvijo in Xi pomeni neskončno zaporedje neodvisnih enako porazdeljenih slučajnih spremenljivk, ki imajo logaritemsko porazdelitev, potem ima

\sum_{n=1}^N X_i

negativno binomsko porazdelitev.

Opombe in reference[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]