Logaritemska porazdelitev

Logaritemska porazdelitev
Funkcija je določena samo za cela števila. Povezave med posameznimi točkami je narisana samo zaradi lažje predstave o poteku funkcije.
oznaka	$Log (p) \!$
parametri	$0 < p < 1\!$
interval	$k \in \{1,2,3,\dots\}\!$
funkcija verjetnosti (pdf)	$\frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{\;p^k}{k}\!$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$1 + \frac{\Beta(p;k+1,0)}{\ln(1-p)}\!$
pričakovana vrednost	$\frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p}{1-p}\!$
mediana
modus	$1$
varianca	$-p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)^2\,\ln^2(1-p)} \!$
simetrija	zelo komplicirana funkcija
sploščenost	zelo komplicirana funkcija
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)	$\frac{\ln(1 - p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}\!$
karakteristična funkcija	$\frac{\ln(1 - p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}\!$

Logaritemska porazdelitev je diskretna porazdelitev (nezvezna), ki jo lahko izpeljemo iz Taylorjeve vrste:

$-\ln(1-p) = p + \frac{p^2}{2} + \frac{p^3}{3} + \cdots.$.

Iz tega se dobi

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p^k}{k} = 1.$

kar vodi do logaritemske porazdelitve

$f(k) = \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p^k}{k}$

Uporaba

Logaritemska porazdelitev se uporablja na različnih področjih (zavarovalništvo, fizika, genetika itd). Nekaj primerov :

• število živali ali rastlin na določenem področju
• število nakupov v določenem obdobju
• število parazitov na gostitelju

itd.

Lastnosti

Funkcija verjetnosti

Funkcija verjetnosti za logaritemsko porazdelitev je:

$\frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{\;p^k}{k}\!$

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti logaritemske porazdelitve je

$1 + \frac{\Beta(p;k+1,0)}{\ln(1-p)}\!$

kjer je

• $\Beta(p;k+1,0)\!$ nepopolna funkcija beta.

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$\frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p}{1-p}\!$.

Varianca

Varianca je enaka

$-p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)^2\,\ln^2(1-p)} \!$.

Povezave z drugimi porazdelitvami

Negativna binomska porazdelitev

Skupina logaritemsko porazdeljenih slučajnih spremenljivk ima negativno binomsko porazdelitev. To pomeni: če je N slučajna spremenljivka s Poissonovo porazdelitvijo in X_i pomeni neskončno zaporedje neodvisnih enako porazdeljenih slučajnih spremenljivk, ki imajo logaritemsko porazdelitev, potem ima

$\sum_{n=1}^N X_i$

negativno binomsko porazdelitev.

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev