Logaritemska logistična porazdelitev

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Logaritemska logistična porazdelitev (nepremaknjena)
Funkcija gostote verjetnosti za nepremaknjeno logaritemsko logistično porazdelitev
Zbirna funcija verjetnosti za nepremaknjeno logaritemsko logistično porazdelitev.
oznaka  LL( \alpha, \beta) \!
parametri \alpha>0 \! parameter merila
\beta> 0 \! parameter oblike
interval x\in[0,\infty) \!
funkcija gostote verjetnosti
(pdf)
 \frac{ (\beta/\alpha)(x/\alpha)^{\beta-1} }
                       { \left[ 1+(x/\alpha)^{\beta} \right]^2 }
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
{ 1 \over 1+(x/\alpha)^{-\beta} }
pričakovana vrednost {\alpha\,\pi/\beta \over \sin(\pi/\beta)}
kadar je \beta>1 \!,
v ostalih primerih je nedefinirana
mediana \alpha\,
modus \alpha\left(\frac{\beta-1}{\beta+1}\right)^{1/\beta}
če je \beta> 1 \!,
oziroma 0 \! v ostalih primerih
varianca (glej opis lastnosti)
simetrija
sploščenost
entropija
funkcija generiranja momentov
(mgf)
karakteristična funkcija

Logaritemsko logistična porazdelitev (tudi Fiskova porazdelitev ali log-logistična porazdelitev) je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev z dvema ali tremi parametri.

Porazdelitev uporabljamo v dveh variantah:

  • po prvi varianti je to nepremaknjena dvoparametrična porazdelitev (parametra: merilo in oblika)
  • po drugi varianti je to premaknjena triparametrična porazdelitev (premaknjena, ker jo določa ob parametru merila in oblike še parameter lokacije)

Za logaritemsko logistično porazdelitev je značilno, da je to verjetnostna porazdelitev slučajne spremenljivke katere logaritem ima logistično porazdelitev. Po obliki je podobna logaritemsko normalni porazdelitvi.

Uporaba[uredi | uredi kodo]

Logaritemsko logistična porazdelitev se uporablja v

  • analizi preživetja kot model za dogodke, katerih število najprej raste, pozneje pa pada.
  • hidrologiji, kjer s to porazdelitvijo modeliramo povezavo med pretoki in padavinami
  • ekonomiji za modeliranje porazdelitve bogastva.

Lastnosti nepremaknjene porazdelitve[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti za logaritemsko logistične porazdelitve je

f(x; \alpha, \beta) = \frac{ (\beta/\alpha)(x/\alpha)^{\beta-1} }
                      { \left[ 1+(x/\alpha)^{\beta} \right]^2 }..

Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

\begin{align} 
F(x; \alpha, \beta) & = {       1         \over 1+(x/\alpha)^{-\beta} } \\    
                    & = {(x/\alpha)^\beta \over 1+(x/\alpha)^   \beta  } \\
                    & = {x^\beta \over \alpha^\beta+x^\beta}
\end{align}

kjer je

  • x>0 \!, \alpha>0 \!, \beta>0 \!.

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost je

{\alpha\,\pi/\beta \over \sin(\pi/\beta)} za \beta>1 \!,
v ostalih primerih je nedefinirana

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca je

  \alpha^2 \left( 2b / \sin 2b -b^2 / \sin^2 b \right), \quad \beta>2.

Povezave z drugimi porazdelitvami[uredi | uredi kodo]

  • Kadar ima slučajna spremenljivka X \! logaritemsko logistično porazdelitev s parametrom merila  \alpha \! in parametrom oblike  \beta \!, potem ima slučajna spremenljivka  Y = log(X) \! [[logistična porazdelitev|logistično porazdelitev s parametrom lokacije enakim  log(\alpha) \! in parametrom merila enakim  \beta \!.
Logaritemska logistična porazdelitev (premaknjena)
Funkcija gostote verjetnosti za premaknjeno logaritemsko logistično porazdelitev
Zbirna funcija verjetnosti za premaknjeno logaritemsko logistično porazdelitev.
parametri \mu \in (-\infty,+\infty) \, parameter lokacije (realno število)

\sigma \in (0,+\infty)    \, parameter merila (realno število)
\xi\in (-\infty,+\infty)  \, parameter oblike (realno število)

interval x \geqslant \mu -\sigma/\xi\,\;(\xi > 0)

x \leqslant \mu -\sigma/\xi\,\;(\xi < 0)
x \in (-\infty, +\infty)   \,\;(\xi = 0)

funkcija gostote verjetnosti
(pdf)
\frac{(1+\xi z)^{-(1/\xi +1)}}{\sigma\left(1 + (1+\xi z)^{-1/\xi}\right)^2}

kjer je z=(x-\mu)/\sigma\,

zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
\left(1+(1 + \xi z)^{-1/\xi}\right)^{-1} \,

kjer je z=(x-\mu)/\sigma\,

pričakovana vrednost \mu + \frac{\sigma}{\xi}(\alpha \csc(\alpha)-1)

kjer je\alpha= \pi \xi\,

mediana \mu \,
modus
varianca  \frac{\sigma^2}{\xi^2}[2\alpha \csc(2 \alpha) - (\alpha \csc(\alpha))^2]

kjer je \alpha= \pi \xi\,

simetrija
sploščenost
entropija
funkcija generiranja momentov
(mgf)
karakteristična funkcija

Premaknjena logaritemska logistična porazdelitev[uredi | uredi kodo]

Lastnosti premaknjene logaritemske logistične porazdelitve[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti za premaknjeno logaritemsko logistično porazdelitev je

\frac{(1+\xi z)^{-(1/\xi +1)}}{\sigma\left(1 + (1+\xi z)^{-1/\xi}\right)^2}
.

Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

\left(1+(1 + \xi z)^{-1/\xi}\right)^{-1} \,

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost je

\mu + \frac{\sigma}{\xi}(\alpha \csc(\alpha)-1)

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca je

 \frac{\sigma^2}{\xi^2}[2\alpha \csc(2 \alpha) - (\alpha \csc(\alpha))^2]

kjer je \alpha= \pi \xi\, .

Povezave z drugimi porazdelitvami[uredi | uredi kodo]

  • Kadar je  \mu = \sigma/\xi \! postane premaknjena logaritemska porazdelitev enaka logaritemski logistični porazdelitvi.
  • Če gre  \xi \to 0 \! se premaknjena logaritemska logistična porazdelitev spremeni v logistično porazdelitev
  • Premaknjena logaritemska logistična porazdelitev c parametrom oblike  \xi = 1 \! je enaka kot splošna Paretova porazdelitev s parametrom oblike enakim  \xi = 1 \!.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]