Legendrova transformacija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Legendrova transformácija [ležándrova ~] je v matematiki dvočlena involucijska aritmetična operacija, s katero lahko izrazimo funkcijo z drugo množico spremenljivk. Imenuje se po francoskem matematiku Adrienu-Marieu Legendru.

Naj bo funkcija f funkcija dveh spremenljivk, x in y. Popolni diferencial te funkcije je enak:

 \mathrm{d} f = \frac{\partial f}{\partial x}\, \mathrm{d} x + \frac{\partial f}{\partial y}\, \mathrm{d} y \!\, .

Vpeljemo lahko novi spremenljivki u in v:

 u = \frac{\partial f}{\partial x} \!\, ,
 v = \frac{\partial f}{\partial y} \!\, .

Z njima lahko popolni diferencial zapišemo kot:

 \mathrm{d} f= u\, \mathrm{d} x + v\, \mathrm{d} y \!\, .

Množico spremenljivk lahko zamenjamo tako, da definiramo funkcijo g(u, y):

 g = f - ux \!\, .

Popolni diferencial te funkcije je enak:

 \mathrm{d} g = \mathrm{d} f - u\, \mathrm{d} x - x\, \mathrm{d} u \!\, .

Če upoštevamo še izraz za popolni diferencial df, dobimo:

 \mathrm{d} f= -x\, \mathrm{d} u + v\, \mathrm{d} y \!\, .

Pri tem velja:

 x = -\frac{\partial g}{\partial u} \!\, ,
 v = \frac{\partial g}{\partial y} \!\, .

Tako definirana funkcija g je Legendrova transformiranka funkcije f.

Legendrova transformacija se veliko uporablja v fiziki, npr. v analitični mehaniki, kjer povezuje Lagrangeevo in Hamiltonovo funkcijo, v termodinamiki pri definiciji termodinamskih potencialov ter v kvantni mehaniki pri transformaciji med p- in q-reprezentacijo.