Kvaternionska matrika

Kvaternionska matrika je matrika, katere elementi so kvaternioni.

Lastnosti

• kvaternioni tvorijo komutativni kolobar, zato lahko definiramo seštevanje in množenje kvaternionskih matrik nad katerimkoli kolobarjem.
• seštevanje kvaternionskih matrik $A\,$ in $B\,$ je določeno kot običajno seštevanje matrik

$(A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}.\,$

• množenje kvaternionskih matrik je prav tako enako kot množenje ostalih matrik

$(AB)_{ij}=\sum _{s}A_{is}B_{sj}.\,$

Primer:Množenje kvaternionskih matrik $U\,$ in $V\,$

$U={\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}\\u_{21}&u_{22}\\\end{pmatrix}},\quad V={\begin{pmatrix}v_{11}&v_{12}\\v_{21}&v_{22}\\\end{pmatrix}},$

nam da produkt

$UV={\begin{pmatrix}u_{11}v_{11}+u_{12}v_{21}&u_{11}v_{12}+u_{12}v_{22}\\u_{21}v_{11}+u_{22}v_{21}&u_{21}v_{12}+u_{22}v_{22}\\\end{pmatrix}}.$

Za množenje velja običajen zakon asociativnosti in distributivnosti.

• sled matrike je tudi za kvaternionske matrike določena kot vsota diagonalnih elementov. V splošnem pa velja

$sl(AB)\neq sl(BA)\,$

• množenje z leve strani s skalarjem je enako

$(cA)_{ij}=cA_{ij}\,$

Determinanta kvaternionske matrike

Ni znan način določanja determinante kvdratne kvaternionske matrike. Vrednosti determinante so kvaternioni . Lahko se določi tudi determinanta s kompleksno vrednostjo.

Kvaternion $a+bi+cj+dk\,$ lahko prikažemo kot kompleksno matriko

${\begin{bmatrix}~~a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{bmatrix}}.$.

Uporaba

Kvaternionske matrike se uporabljajo v kvantni mehaniki in pri reševanju problema več teles .

Glej tudi

• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Determinanta kvaternionske matrike (angleško)