Kvadratni koren od 2

Seznam števil – Iracionalna števila γ - ζ(3) - √2 - Φ - √3 - √5 - δS - α - e - π - δ
Dvojiško	1,0110101000001001111...
Desetiško	1,4142135623730950488...
Šestnajstiško	1,6A09E667F3BCC908B2F...
Verižni ulomek	$[1; \overline{2}]$ Verižni ulomek √2 je periodičen.

Kvadratni koren od 2 je enak dolžini hipotenuze pravokotnega trikotnika s katetama dolžine 1.

Kvadratni koren od 2 na številski premici

Babilonska glinena tablica YBC 7289 s pripombami. (Slika: Bill Casselman)

Kvadratni koren od 2, ali tudi Pitagorova konstanta, je pozitivno realno število, ki pomnoženo samo s seboj, da naravno število 2.

Kvadratni koren od 2 je geometrično dolžina diagonale kvadrata s stranicami dolžine 1, kar sledi iz Pitagorovega izreka. Verjetno je bilo prvo znano iracionalno število. Njegova številska vrednost na 65 desetiških mest je:(OEIS A002193)

1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799....

Kvadratni koren od 2 po navadi zapišemo kot:

$\sqrt{2}$   ali   √2,

lahko pa ga zapišemo tudi s potenčnim zapisom kot:

$2^{1/2} \!\, .$

Na preprostih kalkulatorjih brez funkcije kvadratnega korena lahko za kvadratni koren od 2 vzamemo racionalni približek $\tfrac{99}{70}$. Čeprav je imenovalec le 70, se ulomek od prave vrednosti razlikuje manj kot 1/10000.

Zgodovina

Na babilonski glineni tablici YBC 7289 (okoli 1800–1600 pr. n. št.) je naveden približek $\sqrt{2}$ s štirimi šestdesetiškimi znaki, kar ustreza približno šestim desetiškim znakom:

$1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^{2}} + \frac{10}{60^{3}} = \frac{30547}{21600} = 1,41421\overline{296} \!\, .$

Drug približek tega števila je podan v starodavnih indijskih besedilih, Šulba sutrah (okoli 800–200 pr. n. št.), kjer je navedeno: »Povečaj dolžino stranice za njeno tretjino, in to tretjino za njeno četrtino in odštej štiriintrideseti del te četrtine.« Navedek da približek:

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3 \cdot4 \cdot 34} = \frac{577}{408} \approx 1,414215686 \!\, .$

Ta starodavni indijski približek je sedmi v zaporedju naraščajočih približkov na podlagi zaporedja Pellovih števil, ki jih lahko izpeljemo iz razvoja $\sqrt{2}$ v neskončni verižni ulomek.

Odkritje iracionalnih števil se običajno pripisuje pitagorejskemu filozofu Hipasu iz Metaponta, ki je podal (po vsej verjetnosti geometrijski) dokaz o iracionalnosti kvadratnega korena od 2. Po neki legendi je Pitagora verjel v absolutnost števil, in ni mogel sprejeti obstoja iracionalnih števil. Z logiko sicer ni mogel izpodbiti njihovega obstoja, vendar jih ni mogel sprejeti, in je celo obsodil Hipasa na smrt z utopitvijo. Druga legenda pravi, da so Hipasaa utopili drugi pitagorejci ali pa so ga le izključili iz svojega kroga. Po tretji legendi so ga pitagorejci vrgli z ladje.

Značilnosti

Kvadratni koren od 2 je kvadratno iracionalno število in je zato njegov razvoj v neskončni verižni ulomek periodičen:

$\begin{align} \sqrt{2} &= 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}} \equiv [1; \overline{2}] \\ &= \left\{ 1, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \frac{239}{169}, \frac{577}{408}, \frac{1393}{985}, \frac{3363}{2378}, \frac{8119}{5741}, \frac{19601}{13860}, \frac{47321}{33461}, \frac{114243}{80782}, \frac{275807}{195025}, \ldots \right\} \,\! . \end{align}$

Glej tudi

• kvadratni koren od 3
• kvadratni koren od 5
• srebrni rez
• Viètove enačbe

Viri

• Fowler, David; Robson, Eleanor (november 1998). "Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context". Historia Mathematica 25 (4): 366–378. doi:10.1006/hmat.1998.2209. http://www.hps.cam.ac.uk/dept/robson-fowler-square.pdf. 
• Henderson, David W.. Square Roots in the Sulbasutra (v angleščini).
• Kline, Morris (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press. 
• Singh, Simon (1998). Fermat's Enigma.