Kvadratni koren od 2

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Seznam številIracionalna števila
γ - ζ(3) - √2 - Φ - √3 - √5 - δS - α - e - π - δ
Dvojiško 1,0110101000001001111...
Desetiško 1,4142135623730950488...
Šestnajstiško 1,6A09E667F3BCC908B2F...
Verižni ulomek  [1; \overline{2}]
Verižni ulomek √2 je periodičen.
Kvadratni koren od 2 na številski premici
Babilonska glinena tablica YBC 7289 s pripombami. (Slika: Bill Casselman)

Kvadratni koren od 2, ali tudi Pitagorova konstanta, je pozitivno realno število, ki pomnoženo samo s seboj, da naravno število 2.

Kvadratni koren od 2 je geometrično dolžina diagonale kvadrata s stranicami dolžine 1, kar sledi iz Pitagorovega izreka. Verjetno je bilo prvo znano iracionalno število. Njegova številska vrednost na 65 desetiških mest je:(OEIS A002193)

1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799....

Kvadratni koren od 2 po navadi zapišemo kot:

 \sqrt{2}   ali   √2,

lahko pa ga zapišemo tudi s potenčnim zapisom kot:

 2^{1/2} \!\, .

Na preprostih kalkulatorjih brez funkcije kvadratnega korena lahko za kvadratni koren od 2 vzamemo peti racionalni približek \tfrac{99}{70}. Čeprav je imenovalec le 70, se ulomek od prave vrednosti razlikuje manj kot 1/10000.

Zgodovina[uredi | uredi kodo]

Na babilonski glineni tablici YBC 7289 (okoli 1800–1600 pr. n. št.) je naveden približek \sqrt{2} s štirimi šestdesetiškimi znaki, kar ustreza približno šestim desetiškim znakom:[1]

 \sqrt{2} \approx 1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^{2}} + \frac{10}{60^{3}} = \frac{30547}{21600} = 1,41421\overline{296} \!\, .

Drug približek tega števila je podan v starodavnih indijskih besedilih, Šulba sutrah (okoli 800–200 pr. n. št.), avtorjev Baudhajane, Apastambe in Katjajane, kjer je navedeno: »Povečaj dolžino stranice za njeno tretjino, in to tretjino za njeno četrtino in odštej štiriintrideseti del te četrtine.«[2] Navedek da približek:

 \sqrt{2} \approx 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3\cdot 4} - \frac{1}{3\cdot 4\cdot 34} = \frac{577}{408} = 1,414\overline{2156862745098039} \!\, .

Ta starodavni indijski približek je sedmi v zaporedju naraščajočih približkov na podlagi zaporedja Pellovih števil, ki jih lahko izpeljemo iz razvoja \sqrt{2} v neskončni verižni ulomek.

Odkritje iracionalnih števil se običajno pripisuje pitagorejskemu filozofu Hipasu iz Metaponta, ki je podal (po vsej verjetnosti geometrijski) dokaz o iracionalnosti kvadratnega korena od 2. Po neki legendi je Pitagora verjel v absolutnost števil, in ni mogel sprejeti obstoja iracionalnih števil. Z logiko sicer ni mogel izpodbiti njihovega obstoja, vendar jih ni mogel sprejeti, in je celo obsodil Hipasa na smrt z utopitvijo.[3][4] Druga legenda pravi, da so Hipasaa utopili drugi pitagorejci ali pa so ga le izključili iz svojega kroga.[5][3] Po tretji legendi so ga pitagorejci vrgli z ladje.[6]

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Kvadratni koren od 2 je kvadratno iracionalno število in je zato njegov razvoj v neskončni verižni ulomek periodičen:

 \begin{align}
\sqrt{2} &= 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}} \equiv [1; \overline{2}] \\
         &= \left\{ 1, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \frac{239}{169}, \frac{577}{408}, \frac{1393}{985}, \frac{3363}{2378}, \frac{8119}{5741}, \frac{19601}{13860}, \frac{47321}{33461}, \frac{114243}{80782}, \frac{275807}{195025}, \ldots \right\} \,\! . \end{align}

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Sklici[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]