Krožna matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Krožna matrika (tudi ciklična matrika) je posebna vrsta Toeplitzove matrike. V krožni matriki se vsak vrstični vektor zavrti za en element proti desni glede na njemu predhodni vrstični vektor.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Krožna matrika razsežnosti  n \times n \, ima obliko


C=
\begin{bmatrix}
c_0     & c_{n-1} & \dots  & c_{2} & c_{1}  \\
c_{1} & c_0    & c_{n-1} &         & c_{2}  \\
\vdots  & c_{1}& c_0    & \ddots  & \vdots   \\
c_{n-2}  &        & \ddots & \ddots  & c_{n-1}   \\
c_{n-1}  & c_{n-2} & \dots  & c_{1} & c_0 \\
\end{bmatrix}.

Krožna matrika je že popolnoma določena samo z enim vektorjem, ki se nahaja v prvi vrstici matrike. Vse ostale vrstice so samo ciklične permutacije tega vektorja. Zadnja vrstica je obratni vektor prvega vektorja.

Lastni vektorji in lastne vrednosti krožne matrike[uredi | uredi kodo]

Lastni vektorji krožne matrike so dani z

v_j=(1,~ \omega_j,~ \omega_j^2,~ \ldots,~ \omega_j^{n-1})^T, \,

kjer je

Konstante \omega_0,~ \omega_1, ~\ldots, ~\omega_{n-1} so n-ti koreni enote, ki zadoščajo \omega_j^n=1 \,.

Lastne vrednosti so enake

\lambda_j=c_0+c_{n-1} \omega_j + c_{n-2} \omega_j^2 + \ldots + c_{1} \omega_j^{n-1}, ~~ j=0\ldots n-1 \,.

Determinanta krožne matrike[uredi | uredi kodo]

Determinanto krožne matrike izračunamo s pomočjo obrazca


\mbox{det}(C) 
= \prod_{j=0}^{n-1} (c_0 + c_{n-1} \omega_j + c_{n-2} \omega_j^2 + \dots + c_1\omega_j^{n-1})

kjer je

ker pa transponiranje ne spremeni lastnih vrednosti matrike, lahko to zapišemo tudi kot


\mbox{det}(C)=\prod_{j=0}^{n-1} (c_0 + c_1 \omega_j + c_2 \omega_j^2 + \dots + c_{n-1}\omega_j^{n-1}).
.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

  • Za krožno matriko velja
 C=c_0I+c_{1}P+c_{2}P^2+\ldots+c_{n-1}P^{n-1} \,

kjer je

 P =\begin{bmatrix}
 0&0&0&\ldots&0&1\\
 1&0&0&\ldots&0&0\\
 0&1&0&\ldots&0&0\\
 &&\ddots&\ddots&\ddots\\
 0&0&0&\ldots&1&0\end{bmatrix} \, ciklična permutacijska matrika

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]