Kovariančna matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Kovariančna matrika (oznaka  \Sigma \,) (tudi variančno-kovariančna matrika) je matrika, katere elementi so kovariance i-tega in j-tega elementa vektorja slučajne spremenljivke.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Označimo z   \vec X \, stolpični vektor

  \vec X = \begin{bmatrix}X_1 \\  \vdots \\ X_n \end{bmatrix}

kjer so  X_n \, posamezne komponente slučajne spremenljivke, ki imajo končno varianco.

Kovariančna matrika  \Sigma \,, ki ima za elemente kovariance tako, da je


\Sigma_{ij}
= \mathrm{cov}(X_i, X_j) = \mathrm{E}\begin{bmatrix}
(X_i - \mu_i)(X_j - \mu_j)
\end{bmatrix}

kjer je

Iz tega sledi, da kovariančno matriko lahko zapišemo kot


\Sigma
= \begin{bmatrix}
 \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_n - \mu_n)] \\ \\
 \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_n - \mu_n)] \\ \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\
 \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_n - \mu_n)]
\end{bmatrix}.
.

Obratno matriko kovariančne matrike  \Sigma^{-1} \, imenujejo tudi matrika natančnosti.

Kovariančno matriko imenujemo tudi variančno-kovariančna matrika, ker velja

\Sigma_X=\operatorname{var}(\vec X)
=
\operatorname{var}\begin{pmatrix} X_1  \\ \vdots\\ X_p \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 
\operatorname{var}(X_1) & \operatorname{cov}(X_{1}X_{2}) &  \cdots & \operatorname{cov}(X_{1}X_{p}) \\
\operatorname{cov}(X_{2}X_{1}) & \ddots & \cdots & \vdots\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\operatorname{cov}(X_{P}X_{1}) & \cdots & \cdots&  \operatorname{var}(X_p) 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 
\sigma^2_{x_1} & \sigma_{x_{1}x_{2}} &  \cdots & \sigma_{x_{1}x_{p}} \\
\sigma_{x_{2}x_{1}} & \ddots & \cdots & \vdots\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\sigma_{x_{p}x_{1}} & \cdots & \cdots&  \sigma^2_{x_p} 
\end{pmatrix}

kjer je

  •  \operatorname{var}(\vec X) \, varianca vektorja  \vec X \,
  •  \operatorname{cov} \, kovarianca komponent  X_i \, in  X_j \,
  •  \sigma_n \, varianca n-te komponente vektorja (na glavni diagonali so same variance, izven diagonale pa so kovariance). Zaradi tega ima matrika tudi ime variančno-kovariančna matrika.

Posplošitev variance[uredi | uredi kodo]

Zgornja definicija je enakovredna zapisu


\Sigma=\mathrm{E}
\left[
 \left(
 \textbf{X} - \mathrm{E}[\textbf{X}]
 \right)
 \left(
 \textbf{X} - \mathrm{E}[\textbf{X}]
 \right)^\top
\right]
.

Ta zapis lahko smatramo za posplošitev skalarne oblike variance na višje razsežnosti. Pri tem velja za slučajno spremenljivko s skalarnimi vrednostmi


\sigma^2 = \mathrm{var}(X)
= \mathrm{E}[(X-\mu)^2], \,

kjer je

  • \mu = \mathrm{E}(X).\,

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Za kovariančno matriko  \Sigma \,

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]