Konstanta omega

Konstanta omega je matematična konstanta določena kot:

$\Omega \,e^{\Omega }=1\!\,.$

Je vrednost $\operatorname {W} _{0}(1)$:

$\Omega \equiv \operatorname {W} _{0}(1)\!\,,$

kjer je $\operatorname {W} _{0}$ Lambertova funkcija W za realne argumente, ki je rešitev enačbe:

$x={\frac {1}{e^{x}}}\!\,,$

oziroma:

$x=\ln \left({\frac {1}{x}}\right)\!\,.$

Ime konstante izhaja iz drugega imena za Lambertovo funkcijo W, funkcije Ω.

Številska desetiška vrednost je približno: (OEIS A030178)

$\Omega =0,5671432904097838729999686622\ldots \!\,.$

Za konstanto velja:

$e^{-\Omega }=\Omega \!\,,$

oziroma enakovredno:

${\frac {1}{\Omega }}=e^{\Omega }\!\,,$

kar da:

$\ln \Omega ^{-1}=\Omega \!\,.$

Zapišemo jo lahko tudi s tetracijo:

$\Omega =u^{u^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}\!\,,$

kjer je $u=1/e$.

Konstanto Ω lahko izračunamo iterativno, če začnemo S poljubno z vrednostjo Ω₀ (npr. Ω₀ = 1), in upoštevamo zaporedje:

$\Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}\!\,.$

To zaporedje bo pri n→∞ konvergiralo k Ω, sicer počasi. Hitreje konvergira zaporedje:

$\Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}}\!\,.$

Konstanto lahko zapišemo z integralom:

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(e^{x}-x)^{2}+\pi ^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{1+\Omega }}=0,6381037433651107785224073855\ldots \!\,,$

v primerjavi z:

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(e^{x}-x+1)^{2}+\pi ^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\!\,.$

Iracionalnost in transcendentnost

Da je Ω iracionalno število, se lahko dokaže iz dejstva, da je e transcendentno število. Če bi bila Ω racionalno število, bi obstajali takšni celi števili p in q, da bi veljalo:

${\frac {p}{q}}=\Omega \!\,,$

in naprej:

$1={\frac {pe^{\left({\frac {p}{q}}\right)}}{q}}$

$e=\left({\frac {q}{p}}\right)^{\left({\frac {q}{p}}\right)}={\sqrt[{p}]{\frac {q^{q}}{p^{q}}}}\!\,,$

e pa bi bilo algebrsko število stopnje p. Ker je e trancendentno število, mora biti Ω iracionalno.

Ω je dejansko transcendetno število, kar je neposredna posledica Lindemann-Weierstrassovega izreka. Če bi bila Ω algebrsko število, bi bilo exp(Ω) transcendentno, in prav tako exp⁻¹(Ω). To pa nasprotuje privzetku, da je algebrsko.

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Omega Constant«. MathWorld.
• Michon, Gérard P., Numerical Constants, The Omega constant (angleško)