Klasična modularna krivulja

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Klasična modularna krivulja je v teoriji števil ireducibilna ravninska algebrska krivulja, ki je dana z enačbo

Φn(x, y)=0,

kjer za invarianto j j(τ) velja da je

x=j(n τ), y=j(τ)

točka na krivulji.

Krivuljo včasih označujemo z X0(n), čeprav to oznako pogosto uporabljamo za abstraktne algebrske krivulje, za katere obstojajo različni modeli. Podobni objekti so klasični modularni polinomi, to so polinomi z eno spremenljivko, ki jih definiramo kot Φn(x, x).

Geometrija modularnih krivulj[uredi | uredi kodo]

Klasične modularne krivulje, ki jih označujemo z X0(n), imajo stopnjo, ki je za 1 večja ali enaka z 2n, ko je n>1. Pri tem pa enakost velja samo in samo, če je n praštevilo.

Polinom Φn ima celoštevilčne koeficiente. To število je enako je definirano nad vsakim obsegom. Kot polinomi z x, katerega koeficienti spadajo med Z[y], ima stopnjo ψ(n), kjer je ψ Dedekindova funkcija psi. Ker pa je Φn(x, y) =   Φn(y, x), X0(n) simetrična okoli premice y = x in ima singularne točke pri ponavljajočih se ničlah klasičnega modularnega polinoma kjer seka samega sebe v kompleksni ravnini. To so edine singularnosti in v posebnem primeru, ko je n>2, sta dve singularnosti v neskončnosti, kjer je x=0, y=∞ in x=∞, y=0.

Parametrizacija modularne krivulje[uredi | uredi kodo]

Kadar je n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 16, 18, ali 25 ima X0(n) geometrijski rod enak nič in jo lahko parametriziramo z racionalnimi funkcijami.

Najenostavnejši netrivialni primer je X0(2), če je

j_2(q) = q^{-1} - 24 + 276q -2048q^2 + 11202q^3 + \cdots = ((\eta(q)/\eta(q^2))^{24}

McKay-Thompsonove vrste za razred 2B pošastne grupe ter je η Dedekindova funkcija eta. Potem

x = \frac{(j_2+256)^3}{j_2^2}, y = \frac{(j_2+16)^3}{j_2}

parametrizira X0(2) z racionalnimi funkcijami j2. Ni pa potrebno izračunati j2, da bi uporabili ta način parametrizacije. Kot parameter lahko uporabimo poljuben parameter.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]