Klasična modularna krivulja

Klasična modularna krivulja je v teoriji števil ireducibilna ravninska algebrska krivulja, ki je dana z enačbo

Φ_n(x, y)=0,

kjer za invarianto j j(τ) velja da je

x=j(n τ), y=j(τ)

točka na krivulji.

Krivuljo včasih označujemo z X₀(n), čeprav to oznako pogosto uporabljamo za abstraktne algebrske krivulje, za katere obstojajo različni modeli. Podobni objekti so klasični modularni polinomi, to so polinomi z eno spremenljivko, ki jih definiramo kot Φ_n(x, x).

Geometrija modularnih krivulj

Klasične modularne krivulje, ki jih označujemo z X₀(n), imajo stopnjo, ki je za 1 večja ali enaka z 2n, ko je n>1. Pri tem pa enakost velja samo in samo, če je n praštevilo.

Polinom Φ_n ima celoštevilčne koeficiente. To število je enako je definirano nad vsakim obsegom. Kot polinomi z x, katerega koeficienti spadajo med Z[y], ima stopnjo ψ(n), kjer je ψ Dedekindova funkcija psi. Ker pa je Φ_n(x, y) =   Φ_n(y, x), X₀(n) simetrična okoli premice y = x in ima singularne točke pri ponavljajočih se ničlah klasičnega modularnega polinoma kjer seka samega sebe v kompleksni ravnini. To so edine singularnosti in v posebnem primeru, ko je n>2, sta dve singularnosti v neskončnosti, kjer je x=0, y=∞ in x=∞, y=0.

Parametrizacija modularne krivulje

Kadar je n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 16, 18, ali 25 ima X₀(n) geometrijski rod enak nič in jo lahko parametriziramo z racionalnimi funkcijami.

Najenostavnejši netrivialni primer je X₀(2), če je

$j_{2}(q)=q^{-1}-24+276q-2048q^{2}+11202q^{3}+\cdots =((\eta (q)/\eta (q^{2}))^{24}$

McKay-Thompsonove vrste za razred 2B pošastne grupe ter je η Dedekindova funkcija eta. Potem

$x={\frac {(j_{2}+256)^{3}}{j_{2}^{2}}},y={\frac {(j_{2}+16)^{3}}{j_{2}}}$

parametrizira X₀(2) z racionalnimi funkcijami j₂. Ni pa potrebno izračunati j₂, da bi uporabili ta način parametrizacije. Kot parameter lahko uporabimo poljuben parameter.

Glej tudi

• algebrske krivulje
• invarianta j
• modularna krivulja
• modularna funkcija

Zunanje povezave

• klasični modularni polinomi (angleško)