Jacobijeva matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Jacobijeva matrika (oznaka  J \, ali  J_f (x_1, \dots, x_n) \,) je matrika, ki jo sestavljajo parcialni odvodi prvega reda vektorja.

Determinanta, ki jo dobimo iz Jakobijeve matrike, se imenuje Jacobijeva determinanta.

Imenujeta se po nemškem matematiku Carlu Gustavu Jacobu Jacobiju (1804 – 1851).

Matrika ima obliko:

J=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial y_m}{\partial x_n}  \end{bmatrix} \, .

V matriki i-ta vrstica odgovarja gradientu i-te komponente funkcije  y_i \, ali \left(\nabla y_i\right) \,.

Determinanto kvadratne Jacobijeve matrike včasih imenujejo tudi jakobian [1]. V literaturi se pogosto uporablja isti izraz tudi za transponirano matriko zgornje matrike.

Jacobijeva matrika[uredi | uredi kodo]

Če je dana preslikava \mathbf{f}:\R^n\to\R^m, \mathbf{f}=(f_1, \ldots ,f_m), _i = f_i(x_1, \ldots , x_n), i = 1, \ldots , m \, in so v neki točki  x \, dani vsi prvi parcialni odvodi, potem je dana tudi Jacobijeva matrika razsežnosti  m \times n \,. Jacobijeva matrika neke funkcije določa orientacijo tangentne ravnine na funkcijo v dani točki. Tako Jacobijeva matrika posplošuje gradient skalarne funkcije večjega števila spremenljivk.

Jacobijevo matriko označujemo z

J_f \quad \quad \, ali
Df \quad \quad \, ali
\textstyle\frac{\partial f}{\partial x} \quad \quad \, ali
\textstyle\frac{\partial(f_1, \ldots, f_m)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)} \quad \quad \,.

Primer[uredi | uredi kodo]

Primer 1[uredi | uredi kodo]

Za primer poglejmo pretvorbo sfernih koordinat  (r, \theta, \phi) \, v kartezični koordinatni sistem  (x_1, x_2, x_3) \, pretvorba je dana s funkcijo  f:R^{+}\times [0, \pi] \times [0, 2 \pi] \to R^3 \, s komponentami

 x_1 = r\, \sin\theta\, \cos\phi \,
 x_2 = r\, \sin\theta\, \sin\phi \,
 x_3 = r\, \cos\theta. \,.

Jacobijeva matrika je

J_f(r,\theta,\phi) =\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial x_1}{\partial r} & \dfrac{\partial x_1}{\partial \theta} & \dfrac{\partial x_1}{\partial \phi} \\[3pt]
\dfrac{\partial x_2}{\partial r} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \theta} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \phi} \\[3pt]
\dfrac{\partial x_3}{\partial r} & \dfrac{\partial x_3}{\partial \theta} & \dfrac{\partial x_3}{\partial \phi} \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 
	\sin\theta\, \cos\phi &  r\, \cos\theta\, \cos\phi  & -r\, \sin\theta\, \sin\phi \\
	\sin\theta\, \sin\phi &  r\, \cos\theta\, \sin\phi  &  r\, \sin\theta\, \cos\phi \\ 
	\cos\theta            &  -r\, \sin\theta            &             0                               
\end{bmatrix}. .

Determinanta je enaka  r^2 \sin\theta \,.

Primer 2[uredi | uredi kodo]

Poiščimo Jacobijevo matriko za funkcijo  f: R^3 \to R^4 \, za komponente

 y_1 = x_1 \,
 y_2 = 5x_3 \,
 y_3 = 4x_2^2 - 2x_3 \,
 y_4 = x_3 \sin(x_1) \, .

V tem primeru se dobi Jacobijeva matrika

J_f(x_1,x_2,x_3) =\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_3} \\[3pt]
\dfrac{\partial y_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_3} \\[3pt]
\dfrac{\partial y_3}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_3} \\[3pt]
\dfrac{\partial y_4}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_3} \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_2 & -2 \\ x_3\cos(x_1) & 0 & \sin(x_1) \end{bmatrix}. .

Iz tega se vidi, da Jacobijeva matrika ni vedno kvadratna.

Jacobijeva determinanta[uredi | uredi kodo]

Kadar je  m = n \, je Jacobijeva matrika kvadratna in zanjo lahko določimo determinanto. To determinanto imenujemo Jacobijeva determinanta, ki jo včasih imenujemo tudi jakobian.

Primer Jacobijeve determinante[uredi | uredi kodo]

Jacobijeva determinanta za funkcijo  f:R^3 \to R^3 \, s komponentami

\begin{align}
  y_1 &= 5x_2 \\
  y_2 &= 4x_1^2 - 2 \sin (x_2x_3) \\
  y_3 &= x_2 x_3
\end{align}

je

\begin{vmatrix}
  0 & 5 & 0 \\
  8 x_1 & -2 x_3 \cos(x_2 x_3) & -2x_2\cos(x_2 x_3) \\
  0 & x_3 & x_2
\end{vmatrix} = -8 x_1 \cdot \begin{vmatrix}
  5 & 0 \\
  x_3 & x_2
\end{vmatrix} = -40 x_1 x_2..

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]