Jacobijeva matrika

Jacobijeva matrika (oznaka $J \,$ ali $J_f (x_1, \dots, x_n) \,$) je matrika, ki jo sestavljajo parcialni odvodi prvega reda vektorja.

Determinanta, ki jo dobimo iz Jakobijeve matrike, se imenuje Jacobijeva determinanta.

Imenujeta se po nemškem matematiku Carlu Gustavu Jacobu Jacobiju (1804 – 1851).

Matrika ima obliko:

$J=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{bmatrix} \,$.

V matriki i-ta vrstica odgovarja gradientu i-te komponente funkcije $y_i \,$ ali $\left(\nabla y_i\right) \,$.

Determinanto kvadratne Jacobijeve matrike včasih imenujejo tudi jakobian . V literaturi se pogosto uporablja isti izraz tudi za transponirano matriko zgornje matrike.

Jacobijeva matrika

Če je dana preslikava $\mathbf{f}:\R^n\to\R^m, \mathbf{f}=(f_1, \ldots ,f_m), _i = f_i(x_1, \ldots , x_n), i = 1, \ldots , m \,$ in so v neki točki $x \,$ dani vsi prvi parcialni odvodi, potem je dana tudi Jacobijeva matrika razsežnosti $m \times n \,$. Jacobijeva matrika neke funkcije določa orientacijo tangentne ravnine na funkcijo v dani točki. Tako Jacobijeva matrika posplošuje gradient skalarne funkcije večjega števila spremenljivk.

Jacobijevo matriko označujemo z

$J_f \quad \quad \,$ ali

$Df \quad \quad \,$ ali

$\textstyle\frac{\partial f}{\partial x} \quad \quad \,$ ali

$\textstyle\frac{\partial(f_1, \ldots, f_m)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)} \quad \quad \,$.

Primer

Primer 1

Za primer poglejmo pretvorbo sfernih koordinat $(r, \theta, \phi) \,$ v kartezični koordinatni sistem $(x_1, x_2, x_3) \,$ pretvorba je dana s funkcijo $f:R^{+}\times [0, \pi] \times [0, 2 \pi] \to R^3 \,$ s komponentami

$x_1 = r\, \sin\theta\, \cos\phi \,$

$x_2 = r\, \sin\theta\, \sin\phi \,$

$x_3 = r\, \cos\theta. \,$.

Jacobijeva matrika je

$J_f(r,\theta,\phi) =\begin{bmatrix} \dfrac{\partial x_1}{\partial r} & \dfrac{\partial x_1}{\partial \theta} & \dfrac{\partial x_1}{\partial \phi} \\[3pt] \dfrac{\partial x_2}{\partial r} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \theta} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \phi} \\[3pt] \dfrac{\partial x_3}{\partial r} & \dfrac{\partial x_3}{\partial \theta} & \dfrac{\partial x_3}{\partial \phi} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \sin\theta\, \cos\phi & r\, \cos\theta\, \cos\phi & -r\, \sin\theta\, \sin\phi \\ \sin\theta\, \sin\phi & r\, \cos\theta\, \sin\phi & r\, \sin\theta\, \cos\phi \\ \cos\theta & -r\, \sin\theta & 0 \end{bmatrix}.$.

Determinanta je enaka $r^2 \sin\theta \,$.

Primer 2

Poiščimo Jacobijevo matriko za funkcijo $f: R^3 \to R^4 \,$ za komponente

$y_1 = x_1 \,$

$y_2 = 5x_3 \,$

$y_3 = 4x_2^2 - 2x_3 \,$

$y_4 = x_3 \sin(x_1) \,$.

V tem primeru se dobi Jacobijeva matrika

$J_f(x_1,x_2,x_3) =\begin{bmatrix} \dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_3} \\[3pt] \dfrac{\partial y_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_3} \\[3pt] \dfrac{\partial y_3}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_3} \\[3pt] \dfrac{\partial y_4}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_3} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_2 & -2 \\ x_3\cos(x_1) & 0 & \sin(x_1) \end{bmatrix}.$.

Iz tega se vidi, da Jacobijeva matrika ni vedno kvadratna.

Jacobijeva determinanta

Kadar je $m = n \,$ je Jacobijeva matrika kvadratna in zanjo lahko določimo determinanto. To determinanto imenujemo Jacobijeva determinanta, ki jo včasih imenujemo tudi jakobian.

Primer Jacobijeve determinante

Jacobijeva determinanta za funkcijo $f:R^3 \to R^3 \,$ s komponentami

$\begin{align} y_1 &= 5x_2 \\ y_2 &= 4x_1^2 - 2 \sin (x_2x_3) \\ y_3 &= x_2 x_3 \end{align}$

je

$\begin{vmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 8 x_1 & -2 x_3 \cos(x_2 x_3) & -2x_2\cos(x_2 x_3) \\ 0 & x_3 & x_2 \end{vmatrix} = -8 x_1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 0 \\ x_3 & x_2 \end{vmatrix} = -40 x_1 x_2.$.

Glej tudi

• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Jacobijeva matrika (v angleščini)
• Jacobijeva matrika na MathWorld (v angleščini)
• Jacobijeva matrika na PlanetMath (v angleščini)
• Jacobian (v angleščini)