Izrek o simetrali kota

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Skoči na: navigacija, iskanje
Po izreku velja: \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}

Izrèk o simetráli kóta v geometriji povezuje dolžine nasprotnih stranic kotov z dolžinami drugih dveh stranic trikotnika: kotna simetrala trikotnika deli njegovo nasprotno stranico na dela, ki sta sorazmerna z drugima dvema stranicama.

V trikotniku ABC naj simetrala notranjega kota A seka stranico a (BC) v točki D. Po izreku je razmerje dolžin daljic BD in DC enako razmerju dolžin stranic c (AB) in b (AC):

\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|} \!\, .

Izrek velja tudi za simetrale zunanjih kotov.

[uredi] Posplošitev

V splošnem velja tudi, da če je D poljubna točka na stranici a (BC), potem:

\frac {|BD|} {|DC|} = \frac {|AB| \sin \angle DAB}{|AC| \sin \angle DAC} \!\, .

Če je AD simetrala kota BAC, je:

\sin \angle DAB = \sin \angle DAC \!\, ,

kar da prejšnjo neposplošeno obliko izreka.

Splošna oblika izreka velja tudi, če točka D leži kjerkoli na nosilki stranice a (BC) tudi zunaj trikotnika, kjer moramo upoštevati edino pravilno smer daljic (vektorji) in kotov.

[uredi] Harmonična četverka točk

Točke C, B, D in E tvorijo harmonično četverko točk

Simetrala notranjega kota s točko D in simetrala zunanjega kota s točko E razdeli stranico BC (a) tako, da tvorijo harmonično četverko točk, in velja:

\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|EB|}{|EC|} = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{c}{b} = \lambda \!\, .

Množica vseh točk, za katere je razmerje njihovih razdalj od dveh stalnih točk - v tem primeru krajišč stranice a (B in C) - konstantno (enako λ):

|MB| = \lambda |MC| \!\, ,

je Apolonijev krog. Izjemen je primer za λ = 1, ko točke ležijo na simetrali daljice BC, in je točka D razpolovišče BC, ustrezna točka E pa ne obstaja. Razmerje razdalj označujejo s k ali pa npr. z obratno vrednostjo λ, 1 / μ.

Vzpostavljeno iz »http://sl.wikipedia.org/wiki/Izrek_o_simetrali_kota«