Izrek o simetrali kota

Po izreku velja: $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$

Izrèk o simetráli kóta v ravninski geometriji povezuje dolžine nasprotnih stranic kotov z dolžinami drugih dveh stranic trikotnika: kotna simetrala trikotnika deli njegovo nasprotno stranico na dela, ki sta sorazmerna z drugima dvema stranicama.

V trikotniku ABC naj simetrala notranjega kota A seka stranico a (BC) v točki D. Po izreku je razmerje dolžin daljic BD in DC enako razmerju dolžin stranic c (AB) in b (AC):

$\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|} \!\, .$

Izrek velja tudi za simetrale zunanjih kotov.

Posplošitev

V splošnem velja tudi, da če je D poljubna točka na stranici a (BC), potem:

$\frac {|BD|} {|DC|} = \frac {|AB| \sin \angle DAB}{|AC| \sin \angle DAC} \!\, .$

Če je AD simetrala kota BAC, je:

$\sin \angle DAB = \sin \angle DAC \!\, ,$

kar da prejšnjo neposplošeno obliko izreka.

Splošna oblika izreka velja tudi, če točka D leži kjerkoli na nosilki stranice a (BC) tudi zunaj trikotnika, kjer moramo upoštevati edino pravilno smer daljic (vektorji) in kotov.

Harmonična četverka točk

Točke C, B, D in E tvorijo harmonično četverko točk

Simetrala notranjega kota s točko D in simetrala zunanjega kota s točko E razdeli stranico BC (a) tako, da tvorijo harmonično četverko točk, in velja:

$\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|EB|}{|EC|} = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{c}{b} = \lambda \!\, .$

Množica vseh točk, za katere je razmerje njihovih razdalj od dveh stalnih točk - v tem primeru krajišč stranice a (B in C) - konstantno (enako $\lambda$):

$|MB| = \lambda |MC| \!\, ,$

je Apolonijev krog. Izjemen je primer za $\lambda = 1$, ko točke ležijo na simetrali daljice BC, in je točka D razpolovišče BC, ustrezna točka E pa ne obstaja. Razmerje razdalj označujejo s k ali pa npr. z obratno vrednostjo $\lambda$, $1/\mu$.