Ideal (teorija kolobarjev)

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Ideal (tudi ideal kolobarja) je v teoriji kolobarjev posebna podmnožica kolobarjev. Pojem kolobarja omogoča posplošitve nekaterih pomembnih lastnosti celih števil.

Pri kolobarjih se proučuje praideale, ne pa praštevil.

Ideal se lahko uporabi za konstrukcijo kvocientnih kolobarjev na podoben način kot se normalne podgrupe v teoriji grup uporablja za konstrukcijo kvocientnih grup.

Ulomljeni ideal je posplošitev ideala.

Zgodovina[uredi | uredi kodo]

Prvi je ideale predpostavil nemški matematik Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831 – 1916). Pozneje sta jih proučevala in razširila pojem ideala še nemški matematik David Hilbert (1862 – 1943) in nemška matematičarka Emmy Noether (1882 – 1935).

Definicije[uredi | uredi kodo]

Za poljuben kolobar z (R,+,\cdot) naj bo (R,+) odgovarjajoča aditivna grupa. V tem primeru se podmnožica I imenuje dvostranski ideal (pogosto uporabljamo tudi izraz ideal) za R, če je I aditivna podgrupa za R in ta prevzama množenje elementov iz R.

I je ideal, če zadovoljuje naslednjim pogojem

  1. (I,+) je podgrupa za (R,+)
  2. \forall x \isin I, \forall r \isin R :\quad x \cdot r \isin I
  3. \forall x \isin I, \forall r \isin R : \quad r \cdot x \isin I.

Iz tega sledi, da je R pod-R-bimodul za R. [1]

Podmnožica I v R, se imenuje desni ideal za R, če je ta aditivna podgrupa za R, ki prevzame množenje na desni:

  1. (I,+) je podgrupa za (R,+)
  2. \forall x \isin I, \forall r \isin R: \quad x \cdot r \isin I.

Podmnožica I v R, se imenuje levi ideal za R, če je aditivna podgrupa za R, ki prevzame množenje na levi:

  1. (I,+) je podgrupa za (R, +)
  2. \forall x \isin I, \forall r \isin R: \quad r \cdot x \isin I.

To pa pomeni, da je levi ideal za R tudi levi R-podmodul za R.

V obeh primerih lahko prvi pogoj zamenjamo z dobro znanim kriterijem, ki zagotavlja, da je neničelna podmnožica grupe podgrupa:

1. I je neprazna množica in \forall_{x,y \isin I}~ x - y \isin I [2].

Levi ideali v R so desni ideali nasprotni ideali v Ro in obratno. Dvostranski ideali so tisti levi ideali, ki so tudi desni. Kadar je R komutativni kolobar so definicije za levi, desni in dvostranski ideal enake in uporabljamo samo izraz ideal.

Tako kot so normalne podgrupe jedra za grupni homomorfizem, lahko tudi leve in desne ter dvostranske ideale obravnavamo kot jedra. Za neprazne podmnožice A v R velja

  • A je ideal v R, če in samo, če je ta jedro kolobarjevega izomorfizma v R
  • A je desni ideal v R, če in samo, če je ta jedro homorfizma iz desnega R modula RR v drugi desni R modul
  • A je levi ideal v R, če in samo, če je ta jedro homorfizma iz levega R modula RR v drugi levi R modul.

Kadar je p v R, potem je tudi pR desni ideal in Rp je levi ideal za R. Imenujemo ju glavni levi in desni ideal, ki sta generirana s pomočjo p. Povezava med somnožico in idealom se vidi, če preklopimo operacijo iz "množenja" v "seštevanje".

I imenujemo lastni ideal, če je ta lastna podmnožica v R. To pa pomeni, da I ni enak R [3].

Zgledi[uredi | uredi kodo]

  • parna cela števila tvorijo ideal v kolobarju Z vseh celih števil. Običajno ideal označujemo z 2Z. Podobno množico vseh celih števil, ki so deljiva s številom n, njihov ideal označujemo z nZ
  • množica vseh polinomov z realnimi koeficienti, ki so deljivi z x2 + 1, je ideal v kolobarju vseh polinomov
  • množica vseh matrik  n \times n , ki imajo zadnjo vrstico enako 0, tvorijo desni ideal v kolobarju vseh  n \times n matrik. Ni pa to levi ideal. Množica vseh  n \times n , ki imajo zadnji stolpec enak 0, tvorijo levi ideal, ne pa desnega
  • kolobarji C(R) vseh zveznih funkcij iz R v R vsebujejo ideal vseh zveznih funkcij f tako, da je f(1) = 0. Drugi ideal v C(R) so tiste funkcije, ki izginejo za dovolj velike argumente. To so takšne zvezne funkcije f za katere obstoja takšno število L> 0, da je f(x) = 0, kadar je |x| > L.
  • {0} in R sta ideala v vsakem kolobarju R. Kadar je R kolobar deljenja ali je obseg, sta to njegova edina ideala.
  • kompaktni operatorji tvorijo ideal v kolobarju omejenih operatorjev

Ideal, ki ga generira množica[uredi | uredi kodo]

Naj bo R kolobar. Presek vsakega nepraznega ideala iz družine levih idealov v R je zopet levi ideal v R. Kadar je X podmnožica R, potem je presek vseh levih idealov iz R, ki vsebujejo X, tudi levi ideal I iz R in vsebuje X. Ta je najmanjši levi ideal. Pravimo, da je ideal I levi ideal, ki ga generira X. Podobno definicijo lahko izpeljemo tudi z uporabo desnega ali pa dvostranskega ideala.

Vrste idealov[uredi | uredi kodo]

Ideali so pomembni, ker se pojavljajo kot jedra homomorfizma kolobarjev in omogočajo definiranje faktorskih kolobarjev. Različne vrste idealov proučujejo, kako bi naredili različne vrste kvocientnih kolobarjev.

  • maksimalni ideal je lastni ideal I, če ne obstoja kakšen drugi lastni ideal J tako, da je I podmnožica ideala J.
  • minimalni ideal je vsak neničelen ideal, ki ne vsebuje drugih neničelnih idealov
  • praideal je tisti lastni ideal I, če za vsak a in b iz R in je v primeru, da je ab v I, potem je vsaj eden izmed a in b v I. Faktorski kolobar prakolobarja je v splošnem prakolobar in je tudi integralna domena za komutativne kolobarje.
  • radikalni ideal ali polpraideal je ideal za katerega velja, da je takrat, ko je vsak a iz R in, če je vsak an v I za poljuben n, potem je tudi a iz I. Faktorski kolobar radikalnega ideala se imenuje polradikalni kolobar za splošne kolobarje in reducirani kolobar za komutativne kolobarje.
  • primarni ideal je tisti ideal I, za katerega velja, da takrat, ko za vsak a in b iz R velja, da so vsi ab iz I, potem je vsaj eden od a in bn iz I za naravno število n. Vsak praideal je primarni ideal, vendar obratno ne velja. Nekateri polpraideali so praideali
  • glavni ideal je ideal, ki ga generira en element.
  • končno generirani ideal je tisti ideal, ki je končno generiran kot modul.
  • primitivni ideal je lahko levi ali desni primitivni ideal. Levi primitivni ideal je anihilator enostavnih levih modulov. Desni primitivni ideal je določen podobno. Kljub imenu sta levi in desni primitivni ideal vedno dvostranska. Primitivni ideal je vedno praideal. Kadar izdelamo faktorski kolobar z levimi primitivnimi ideali, ti tvorijo levi primitivni kolobar. Za komutativne kolobarje so primitivni ideali maksimalni. Tako so komutativni kolobarji vedno obsegi.
  • nereducibilni ideal je tisti, ki ne more biti napisan kot presek idealov, ki ga vsebujejo
  • komaksimalna ideala sta tista ideala \mathfrak{i}, \mathfrak{j} za katera velja x + y = 1

x + y =1 za x \in \mathfrak{i} in y \in \mathfrak{j}.

Razen tega se uporabljata še dva izraza v povezavi z ideali, čeprav to niso vedno ideali kolobarjev:

  • ulomljeni ideal pogosto ga definiramo takrat, ko je R komutativna domena z obsegom kvocientov K. Kljub imenu so ulomljeni ideali podmoduli R v K s posebno lastnostjo.
  • obrnljive ideale pogosto definiramo kot ulomljene ideale, za katere je drugi ulomljeni ideal B takšen, da velja AB = BA = R.

Nekateri obrnljive ideale uporabljajo tudi za običajne ideale A in B, ki imajo lastnost AB = BA = R, v kolobarjih , ki niso domene

Operacije z ideali[uredi | uredi kodo]

Za \mathfrak{a} in \mathfrak{b}, ki sta ideala iz kolobarja R, velja

\mathfrak{a}+\mathfrak{b}:=\{a+b \,|\, a \in \mathfrak{a} \mbox{ in } b \in \mathfrak{b}\}

in

\mathfrak{a} \mathfrak{b}:=\{a_1b_1+ \dots + a_nb_n \,|\, a_i \in \mathfrak{a} \mbox{ in } b_i \in \mathfrak{b}, i=1, 2, \dots, n; \mbox{ za } n=1, 2, \dots\},

To pa pomeni, da je produkt dveh idealov \mathfrak{a} in \mathfrak{b} ideal \mathfrak{a} \mathfrak{b} , ki nastane z vsemi produkti oblike ab z a iz \mathfrak{a} in b iz \mathfrak{b}. Produkt \mathfrak{a} \mathfrak{b} je vsebovan v preseku \mathfrak{a} in \mathfrak{b}.

Vsota in presek idealov je zopet ideal. unija dveh idealov je podmnožica vsote teh dveh idealov, ker je za vsak element a v idealu, lahko pišemo a + 0 ali 0 + a. Unija dveh idealov ni vedno ideal.

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Glej Hazewinkel et. al. (2004), s. 4
  2. ^ Ker je R nevtralen, je dovolj, da je x + y v I, ker drugi pogoj vsebuje, da je −y v I
  3. ^ Lang, 2005, poglavje III.2

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]