Hilbertova matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Hilbertova matríka [hílbertova ~] v linearni algebri je kvadratna matrika z elementi:

 H_{ij} = \frac{1}{i+j-1} \!\, ,

ki so vsi enotski ulomki.

Na primer H5:

 H = \begin{bmatrix} 
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\[4pt]
\frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\[4pt]
\frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} \\[4pt]
\frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} \\[4pt]
\frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9} \end{bmatrix} \!\, .

Hilbertove matrike so tipičen primer slabo pogojenih matrik, s katerimi je težko numerično računati. Determinanta zgornje matrike je približno 3,75 \cdot 10^{-12}. Determinanto lahko izrazimo v zaključeni obliki kot poseben primer Cauchyjeve determinante. Hilbertova matrika je tudi Hankelova matrika.