Hessenbergova matrika

Hessenbergova matrika (oznaka $H \,$ ) je kvadratna matrika, ki ima elemente pod ali nad prvo stransko diagonalo enake 0.

Imenuje se po nemškem matematiku Karlu Hessenbergu (1904 – 1959).

Hessenbergova matrika je lahko

zgornja Hessenbergova matrika, ki ima ničelne elemente pod prvo stransko diagonalo
spodnja Hessenbergova matrika, ki ima ničelne elemente nad prvo stransko diagonalo

Primeri[uredi]

Zgornja Hessenbergova matrika

$\begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 7 \\ 0 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}$

Spodnja Hessenbergova matrika

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 3 & 0 \\ 3 & 4 & 3 & 7 \\ 5 & 6 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$ .

Splošna oblika zgornje Hessenbergove matrike pa je $H = \begin{bmatrix} h_{11} & h_{12} & h_{13} & \cdots & h_{1n}\\ h_{21} & h_{22} & h_{23} &\cdots & h_{2n}\\ 0 & h_{32} & h_{33} & \cdots & h_{3n}\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & 0 & h_{nn-1} & h_{nn} \end{bmatrix}$ .

Splošna oblika spodnje Hessenbergove matrike pa je: $H = \begin{bmatrix} h_{11} & h_{12} & 0 & \cdots & 0\\ h_{21} & h_{22} & h_{23} &\cdots & 0\\ h_{31} & h_ {32}& h_{33} & \cdots & h_{3n}\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ h_{n1} & \cdots & h_{n3} & h_{nn-1} & h_{nn} \end{bmatrix}$

Lastnosti[uredi]

zgornjo in spodnjo Hessenbergovo matriko prištevamo med tridiagonalne matrike.
zmnožek Hessenbergove matrike s trikotno matriko je Hessenbergova matrika ali bolj natančno, če je $A \,$ zgornja Hessenbergova matrika in je $T \,$ zgornja trikotna matrika, potem sta $AT \,$ in $TA \,$ tudi zgornji Hessenbergovi matriki.