Hemipolieder
Hemipolieder (tudi polpolieder) je uniformni zvezdni polieder. Njegove stranske ploskve potekajo skozi njegovo središče. Te "hemi" (pol) stranske ploskve ležijo vzporedno z nekim drugim simetričnim poliedrom. Njihovo število je samo polovica stranskih ploskev tega drugega poliedra. Iz tega izhaja tudi predpona "hemi" [1]
Predpona "hemi" se uporablja tudi za določene projektivne poliedre kot je n. pr. polkocka, ki je slika preslikave 2 v 1 sfernega poliedra s centralno simetrijo.
Vsebina |
Wythoffov simbol in slika oglišč [uredi]
Wythoffovi simboli imajo obliko p/(p − q) p/q | r; njihove slike oglišč so križni štirikotnik|križni štirikotniki. Slika oglišč je enaka p/q.2r.p/(p − q).2r. 2r-kotniške stranske ploskve tečejo skozi središče modela. Notacija p/(p − q) vključuje {p/q} stranskih ploskev, ki se obračajo nazaj okoli slike oglišč.
Devet oblik skupaj s Wythoffovimi simboli je:
 tetrahemiheksaeder 3/2 3 ǀ 2 (3.4.3/2.4) (p/q = 3, r = 2) |
 oktahemioktaeder 3/2 3 ǀ 3 (3.6.3/2.6) (p/q = 3, r = 3) |
 mali ikozihemidodekaeder 3/2 3 ǀ 5 (3.10.3/2.10) (p/q = 3, r = 5) |
 veliki ikozihemidodekaeder 3/2 3 ǀ 5/3 (3.10/3.3/2.10/3) (p/q = 3, r = 5/3) |
 mali dodekahemiikozaeder 5/3 5/2 ǀ 3 (5/2.6.5/3.6) (p/q = 5/2, r = 3) |
 kubohemioktaeder 4/3 4 ǀ 3 (4.6.4/3.6) (p/q = 4, r = 3) |
 mali dodekahemidodekaeder 5/4 5 ǀ 5 (5.10.5/4.10) (p/q = 5, r = 5) |
 veliki dodecahemidodecahedron 5/3 5/2 ǀ 5/3 (5/2.10/3.5/3.10/3) (p/q = 5/2, r = 5/3) |
 veliki dodekahemiikozaeder 5/4 5 ǀ 3 (5.6.5/4.6) (p/q = 5, r = 3) |
Orientabilnost [uredi]
Samo oktahemioktaeder predstavlja orientabilno ploskev. Vsi ostali hemipoliedri so neorientabilni ali ploskve s samo eno stranjo.
Dualna telesa polpoliedrov [uredi]
Ker imajo polpoliedri stranske ploskve, ki potekajo skozi središče, imajo pripadajoče dualne oblike oglišča v neskončnosti ali na realni projektivni ravnini v neskončnosti [2]. V knjigi Magnus Wenninger (rojen 1919) dualni modeli so prikazani kot sekajoče se prizme, ki so podaljšane v obeh smereh za isto sliko oglišč do neskončnosti, da bi se obdržala simetrija. V resnici se modeli prizem odrežejo v določeni točki, kar je ugodno za izdelovalce. Wenninger predlaga, da so te oblike nov razred stelacije, ki jo imenujemo stelacija v neskončnosti. Predlagal je tudi, da ta vrsta konstrukcije ne potrjuje običajnih definicij.
Obstoja devet takšnih dualov:
 |
 |
 |
 |
 |
| tetrahemiheksakron |
in heksahemioktakron |
in mali dodekahemidodekakron |
in veliki ikozihemidodekakron |
in mali dodekahemiikozakron |
| 3 sekajoče se neskončne štiristrane prizme | 4 sekajoče se neskončne šeststrane prizme | 6 sekajoče se neskončne desetstrane prizme | 6 sekajočih se neskončnih desetstranih prizem | 10 sekajočih se neskončnih šeststranih prizem |
Odnosi s kvazipravilnimi poliedri [uredi]
Hemipoliedri se pojavljajo v parih kot facetiranje kvazipravilnih poliedrov s štirimi stranskimi ploskvami na oglišču. Ti kvazipravilni poliedri imajo sliko oglišč m.n.m.n. Njihovi robovi tvorijo tudi n-kotne in m-kotne stranske ploskve, ki tvorijo hemi-stranske ploskve hemipoliedra. Tako lahko hemipolieder dobimo iz kvazipravilnih poliedrov tako, da zavržemo m- in n-kotnike in potem vpeljemo hemi-stranske ploskve. Ker smo zavrgli m- in n-kotnike lahko vsakega od dveh hemipoliedrov dobimo iz kvazipravilnega poliedra. Tega pa ne moremo narediti za oktaeder in tetraeder, kjer velja m = n = 3 in sta facetiranji skladni. Ta vrsta konstrukcije ne deluje za kvazipranevilne poliedre s šestimi stranskimi ploskvami na oglišču ker njihovi robovi ne tvorijo nobene pravilne hemi-stranske ploskve [1].
Ker pa hemipoliedri imajo tako kot kvazipravilni poliedri, ki imajo dve vrsti stranskih ploskev, ki se izmenoma pojavljajo okoli vsakega oglišča, jih obravnavamo tudi kot kvazipravilne [1].
| Kvazipravilni poliedri m.n.m.n |
hemi-stranske ploskve (h-kotniki) | hemipoliedri s m-kotniki uprabljeni z m.h.m/m - 1.h |
hemipolieder s n-kotniki uporabljen z n.h.n/n - 1.h |
|---|---|---|---|
 tetrader 3.3.3.3 m = 3, n = 3 |
kvadrati | tetrahemiheksaeder 3.4.3/2.4 |
tetrahemiheksaeder 3.4.3/2.4 |
 kubooktaeder 3.4.3.4 m = 3, n = 4 |
šestkotniki | kubohemioktaeder 4.6.4/3.6 |
oktahemioktaeder 3.6.3/2.6 |
 ikozidodekaeder 3.5.3.5 m = 3, n = 5 |
desetkotniki | mali dodekahemidodekaeder 5.10.5/4.10 |
mali ikozihemidodekaeder 3.10.3/2.10 |
 dodekadodekaeder 5.5/2.5.5/2 m = 5, n = 5/2 |
šestkotniki | mali dodekahemikozaeder 5/2.6.5/3.6 |
veliki dodekahemiikozaeder 5.6.5/4.6 |
 veliki ikozidodekaeder 3.5/2.3.5/2 m = 3, n = 5/2 |
desetkotniki | veliki dodekahemidodekaeder 5/2.10/3.5/3.10/3 |
veliki ikozihemidodekaeder 3.10/3.3/2.10/3 |
Tukaj m in n odgovarjata zgornjemu p/q in h pomeni 2r (glej zgoraj).
Opombe in sklici [uredi]
- ^ 1,0 1,1 1,2 Hart, George (1996). Quasiregular Polyhedra. Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra. Pridobljeno dne 6. maj 2012.
- ^ (Wenninger 2003, str. 101)
