Hadamardova matrika

Hadamardova matrika (oznaka $H \,$) je kvadratna matrika z razsežnostjo $n \times n \,$, ki ima za elemente samo vrednosti 1 in -1. Stolpci matrike so medsebojno ortogonalni, kar pomeni, da poljubni dve vrstici predstavljata pravokotne vektorje.

Ime ima po francoskem matematiku Jacquesu Hadamardu (1865 – 1963). Prvi pa je sistematično proučeval matrike te vrste angleški matematik James Joseph Sylvester (1814 1897).

Zgledi

$H_1 = \begin{pmatrix}1\end{pmatrix}$

$H_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

$H_4 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

Značilnosti

• Za Hadamardovo matriko z razsežnostjo $n \times n \,$ velja, da je

$H H^{\mathrm{T}} = n I_n \$

kjer je

• • $H^T \,$ transponirana matrika matrike $H \,$
  • $I_n \,$ enotska matrika z razsežnostjo $n \times n \,$

• Determinanta matrike $H \,$ je enaka ${\pm n}^{n/2} \,$

Sylvestrova sestava

Primere Hadamardovih matrik je prvi sestavil James Joseph Sylvester v letu 1867. Če je $H \,$ Hadamardova matrika reda $n \,$, potem je matrika

$\begin{bmatrix} H & H\\ H & -H\end{bmatrix}$

tudi Hadamardova reda $2n \,$. To lahko nadaljujemo z uporabo zaporedja matrik, ki jih imenujemo Walshove matrike

$H_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix},$

$H_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix},$

in

$H_{2^k} = \begin{bmatrix} H_{2^{k-1}} & H_{2^{k-1}}\\ H_{2^{k-1}} & -H_{2^{k-1}}\end{bmatrix} = H_2\otimes H_{2^{k-1}},$

kjer je

• $2 \le k \in N$
• $\left.\otimes\right.$ Kroneckerjev produkt

Sylvestrove matrike so

• simetrične
• njihova sled je enaka 0
• elementi v prvi vrstici in prvem stolpcu so pozitivni

Glej tudi

• seznam vrst matrik
• kompleksna Hadamardova matrika

Zunanje povezave

• Hadamardova matrika na MathWorld (v angleščini)