Hadamardova matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Hadamardova matrika (oznaka  H \,) je kvadratna matrika z razsežnostjo  n \times n \,, ki ima za elemente samo vrednosti 1 in -1. Stolpci matrike so medsebojno ortogonalni, kar pomeni, da poljubni dve vrstici predstavljata pravokotne vektorje.

Ime ima po francoskem matematiku Jacquesu Hadamardu (1865 – 1963). Prvi pa je sistematično proučeval matrike te vrste angleški matematik James Joseph Sylvester (1814 – 1897).

Zgledi[uredi | uredi kodo]

 H_1 = \begin{pmatrix}1\end{pmatrix}
 H_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
 H_4 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

  • Za Hadamardovo matriko z razsežnostjo  n \times n \, velja, da je
 H H^{\mathrm{T}} = n I_n \

kjer je

Sylvestrova sestava[uredi | uredi kodo]

Primere Hadamardovih matrik je prvi sestavil James Joseph Sylvester v letu 1867. Če je  H \, Hadamardova matrika reda  n \,, potem je matrika

\begin{bmatrix} H & H\\ H & -H\end{bmatrix}

tudi Hadamardova reda  2n \,. To lahko nadaljujemo z uporabo zaporedja matrik, ki jih imenujemo Walsheve matrike


H_1 = \begin{bmatrix}
1      \end{bmatrix},

H_2 = \begin{bmatrix}
1 &  1 \\
1 & -1 \end{bmatrix},

in


H_{2^k} = \begin{bmatrix}
H_{2^{k-1}} &  H_{2^{k-1}}\\
H_{2^{k-1}}  & -H_{2^{k-1}}\end{bmatrix} = H_2\otimes H_{2^{k-1}},

kjer je

Sylvestrove matrike so

  • simetrične
  • njihova sled je enaka 0
  • elementi v prvi vrstici in prvem stolpcu so pozitivni

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]