Gumbelova porazdelitev

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Gumbelova porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za Gumbelovo porazdelitev
Zbirna funcija verjetnosti za Gumbelovo porazdelitev.
oznaka Gumbel (\mu, \beta) \!
parametri \mu\! parameter lokacije (realno število)
\beta>0\! parameter merila (realno število)
interval x \in (-\infty; +\infty)\!
funkcija gostote verjetnosti
(pdf)
\frac{z\,e^{-z}}{\beta}\!
kjer je z = e^{-\frac{x-\mu}{\beta}}\!
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
\exp(-e^{-(x-\mu)/\beta})\!
pričakovana vrednost \mu + \beta\,\gamma\!
mediana \mu - \beta\,\ln(\ln(2))\!
modus \mu\!
varianca \frac{\pi^2}{6}\,\beta^2\!
simetrija \frac{12\sqrt{6}\,\zeta(3)}{\pi^3} \approx 1,14\!
sploščenost \frac{12}{5}
entropija \ln(\beta)+\gamma+1\!
funkcija generiranja momentov
(mgf)
\Gamma(1-\beta\,t)\, e^{\mu\,t}\!
karakteristična funkcija \Gamma(1-i\,\beta\,t)\, e^{i\,\mu\,t}\!

Gumbelova porazdelitev je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev, ki je določena z dvema parametroma.

Imenuje se po nemškem matematiku Emilu Juliusu Gumbelu (1891 – 1966).

Gumbelova porazdelitev je poseben primer splošne porazdelitve ekstremnih vrednosti (znana kot Fisher-Tippettova porazdelitev) in dveh porazdelitev, ki sta znani kot logaritmična Weibullova in Laplaceova porazdelitev (tudi dvojna eksponentna porazdelitev).

Uporaba[uredi | uredi kodo]

Uporablja se za prikaz porazdelitve ekstremnih vrednosti (maksimumov in minimumov) različnih porazdelitev. Posebno vlogo ima pri modeliranju ekstremnih vrednosti, ki so povezane s poplavami in količino dežja [1]. Uporablja se tudi v gradbeništvu, kjer so še posebno zanimivi ekstremni pojavi [2].

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev je

\frac{z\,e^{-z}}{\beta}\!

kjer je

  • z = e^{-\frac{x-\mu}{\beta}}\!

Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

\exp(-e^{-(x-\mu)/\beta})\!

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost je enaka

\mu + \beta\,\gamma\!.

kjer je

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca je enaka

\frac{\pi^2}{6}\,\beta^2\!.

Funkcija generiranja momentov[uredi | uredi kodo]

Funkcija generiranja momentov je

\Gamma(1-\beta\,t)\, e^{\mu\,t}\!.

kjer je

Karakteristična funkcija[uredi | uredi kodo]

Karakteristična funkcija je

\Gamma(1-i\,\beta\,t)\, e^{i\,\mu\,t}\!.

Standardna Gumbelova porazdelitev[uredi | uredi kodo]

Standardno Gumbelovo porazdelitev dobimo, kadar je  \mu = 0 \! in  \beta = 1 \!.

f(x) = e^{-x} e^{-e^{-x}}..
F(x) = e^{-e^{(-x)}}\,.
-\ln(\ln(1/2)) \approx 0,366512.
\gamma \!, kar je Euler-Mascheronijeva konstanta
 \pi/\sqrt{6} \approx 1,28254983

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]