Gramova matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Gramova matrika (oznaka  G \,) (tudi gramian) množice vektorjev v_1,\dots, v_n je Hermitska matrika notranjih produktov. Njeni elementi so dani z

G_{ij}=\langle v_j, v_i \rangle

Imenuje se po danskem matematiku Jørgenu Pedersenu Gramu (1850 – 1916).

Ena izmed uporab Gramove matrike je njena pomembnost pri določanju linearne neodvisnosti množice vektorjev. Vektorji so linearno neodvisni, če, in samo, če je njihova Gramova determinanta različna od 0. Gramova determinanta je determinanta Gramove matrike.

Gramova matrika[uredi | uredi kodo]

Gramova matrika je določena z

G(a) = (\lang a_i, a_j \rang)_{ij}, \quad \forall i, j = 1 \ldots n,.

ali

G(a) = \left(\begin{array}{ccc}
\lang a_1, a_1 \rang & \cdots & \lang a_1, a_n \rang\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\lang a_n, a_1 \rang & \cdots & \lang a_n, a_n \rang
\end{array} \right),

kjer je

Gramova determinanta[uredi | uredi kodo]

Gramova determinanta je determinanta Gramove matrike. Določena je z

\begin{vmatrix} 
\langle e_1, e_1\rangle & \langle e_1, e_2\rangle & \ldots & \langle e_1, e_n\rangle \\ 
\langle e_2, e_1\rangle & \langle e_2, e_2\rangle & \ldots & \langle e_2, e_n\rangle \\ 
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 
\langle e_n, e_1\rangle & \langle e_n, e_2\rangle & \ldots & \langle e_n, e_n\rangle \\ 
\end{vmatrix} \,

kjer je

Gramova determinanta je kvadrat prostornine paralelotopa (posplošitev paralelepipeda na več razsežnosti), ki ga tvorijo vektorji.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]