Gramova matrika

Gramova matrika (oznaka $G \,$) (tudi gramian) množice vektorjev $v_1,\dots, v_n$ je Hermitska matrika notranjih produktov. Njeni elementi so dani z

$G_{ij}=\langle v_j, v_i \rangle$

Imenuje se po danskem matematiku Jørgenu Pedersenu Gramu (1850 – 1916).

Ena izmed uporab Gramove matrike je njena pomembnost pri določanju linearne neodvisnosti množice vektorjev. Vektorji so linearno neodvisni, če, in samo, če je njihova Gramova determinanta različna od 0. Gramova determinanta je determinanta Gramove matrike.

Gramova matrika

Gramova matrika je določena z

$G(a) = (\lang a_i, a_j \rang)_{ij}, \quad \forall i, j = 1 \ldots n,$.

ali

$G(a) = \left(\begin{array}{ccc} \lang a_1, a_1 \rang & \cdots & \lang a_1, a_n \rang\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \lang a_n, a_1 \rang & \cdots & \lang a_n, a_n \rang \end{array} \right),$

kjer je

• $\langle a_i , a_j \rangle \,$ notranji produkt vektorjev $a_i \,$ in $a_j \,$.

Gramova determinanta

Gramova determinanta je determinanta Gramove matrike. Določena je z

$\begin{vmatrix} \langle e_1, e_1\rangle & \langle e_1, e_2\rangle & \ldots & \langle e_1, e_n\rangle \\ \langle e_2, e_1\rangle & \langle e_2, e_2\rangle & \ldots & \langle e_2, e_n\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \langle e_n, e_1\rangle & \langle e_n, e_2\rangle & \ldots & \langle e_n, e_n\rangle \\ \end{vmatrix} \,$

kjer je

• $\langle e_i , e_j \rangle \,$ notranji produkt vektorjev $e_i \,$ in $e_j \,$.

Gramova determinanta je kvadrat prostornine paralelotopa (posplošitev paralelepipeda na več razsežnosti), ki ga tvorijo vektorji.

Lastnosti

• Gramova matrika je pozitivno semidefinitna in vsaka semidefinitna matrika je Gramova matrika za neko skupino vektorjev. Ta množica vektorjev ni enolična. Gramova matrika katerekoli ortogonalne baze je enotska matrika.
• zaradi spremembe baze, ki je podana z obrnljivo matriko $P \,$, se Gramova matrika spremeni z matrično kongruenco v $P^{T}GP \,$.

Glej tudi

• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Gramova matrika na MathDaily (v angleščini)
• Gramova matrika v enciklopediji All Science Fair Projects (v angleščini)
• Gramova determinanta na PlanethMath (v angleščini)