Fisherjeva porazdelitev

F porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za F porazdelitev.
Zbirna funkcija verjetnosti za F porazdelitev.
oznaka	$F(d_1, d_2) \!$
parametri	$d_1>0,\ d_2>0$ (prostostni stopnji)
interval	$x \in [0, +\infty)\!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}} {(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}} {x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}\!$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2)\!$
pričakovana vrednost	$\frac{d_2}{d_2-2}\!$ za $d_2 > 2$
mediana
modus	$\frac{d_1-2}{d_1}\;\frac{d_2}{d_2+2}\!$ za $d_1 > 2$
varianca	$\frac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\!$ za $d_2 > 4$
simetrija	$\frac{(2 d_1 + d_2 - 2) \sqrt{8 (d_2-4)}}{(d_2-6) \sqrt{d_1 (d_1 + d_2 -2)}}\!$ za $d_2 > 6$
sploščenost	glej lastnosti - levo
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)	ne obstoja, momenti so lahko določeni kjerkoli
karakteristična funkcija	določljiva kjerkoli

F porazdelitev (tudi Fisherjeva porazdelitev) je družina nesimetričnih zveznih verjetnostnih porazdelitev . Znana je tudi kot Snedekorjeva F porazdelitev ali Fisher-Snedekorjeva porazdelitev (imenuje se po angleškem statistiku, evolucijskem biologu in genetiku Ronaldu Aylmerju Fisherju (1890 – 1962) in ameriškem matematiku in statistiku Georgu Waddelu Snedekorju (1881 – 1974)).

Najbolj pogosto se uporablja v analizi variance (ugotavljanje, če imata dva vzorca isto varianco, glej tudi F test za hipoteze o enakosti varianc v dveh normalno porazdeljenih statističnih populacijah) in v regresijski analizi. Porazdelitev sama je porazdelitev razmerja dveh neodvisnih spremenljivk, ki imata porazdelitvi hi-kvadrat (podobno porazdelitvi varianc v normalno porazdeljenih vzorcih)

$\frac{U_1/d_1}{U_2/d_2}$

kjer sta

• $U_1 \!$ in $U_2 \!$ dve neodvisni spremenljivki, ki imata porazdelitev hi-kvadrat
• $d_1 \!$ in $d_2 \!$ pa pripadajoči prostostni stopnji porazdelitve (glej porazdelitev hi-kvadrat).

Lastnosti

Funkcija verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za F porazdelitev je

$\frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}} {(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}} {x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}\!$

kjer je

• $B(x,y) \!$ funkcija beta

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2)\!$

kjer je

• $I_x(\alpha,\beta)\!$ regulirana nepopolna funkcija beta

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je za $d_2 > 2$ enaka

$\frac{d_2}{d_2-2}\!$.

Varianca

Varianca je za $d_2 > 4$ enaka

$\frac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\!$.

Sploščenost

Sploščenost je enaka

$\frac{20d_2-8d_2^2+d_2^3+44d_1-32d_1d_2+A}{d_1(d_2-6)(d_2-8)(d_1+d_2-2)/12}$

kjer je

• $A=5d_2^2d_1-22d_1^2+5d_2d_1^2-16.$

Povezave z drugimi porazdelitvami

• če je $X \sim \mathrm{F}(\nu_1, \nu_2) \!$ potem ima slučajna spremenljivka $Y = \lim_{\nu_2 \to \infty} \nu_1 X$ hi-kvadrat porazdelitev $\chi^2_{\nu_{1}}$
• Porazdelitev $\operatorname{F}(\nu_1,\nu_2)$ je enaka Hotellingovi t kvadrat porazdelitvi $(\nu_1(\nu_1+\nu_2-1)/\nu_2)\operatorname{T}^2(\nu_1,\nu_1+\nu_2-1)$.
• Če je $X \sim \operatorname{F}(\nu_1,\nu_2),$ potem velja tudi $\frac{1}{X} \sim F(\nu_2,\nu_1)$.
• Če ima spremenljivka $X \sim \mathrm{t}(\nu)\!$ Študentovo t porazdelitev potem velja $X^2 \sim \operatorname{F}(\nu_1 = 1, \nu_2 = \nu)$.
• Če je $X \sim \operatorname{F}(\nu_1,\nu_2)$ in$Y=\frac{\nu_1 X/\nu_2}{1+\nu_1 X/\nu_2}$ potem velja za slučajno spremenljivko $Y \!$, da ima porazdelitev beta $Y \sim \operatorname{Beta}(\nu_1/2,\nu_2/2)$.
• Če je $\operatorname{Q}_X(p)$ kvantil $p$ za $X\sim \operatorname{F}(\nu_1,\nu_2)$ in je $\operatorname{Q}_Y(1-p)$ kvantil $1-p$ for $Y\sim \operatorname{F}(\nu_2,\nu_1)$ potem je $\operatorname{Q}_X(p)=1/\operatorname{Q}_Y(1-p)$.

Zunanje povezave

• Prikaz simulacije F porazdelitve (v angleščini)
• Kalkulator za F porazdelitev (v angleščini)
• Opis uporabe f porazdelitve (v angleščini)

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev