Eulerjeva enakost štirih kvadratov

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Eulerjeva enákost štírih kvadrátov [òjlerjeva ~] v matematiki trdi, da je produkt dveh števil, od katerih je vsako vsota štirih popolnih kvadratov, tudi sam vsota štirih kvadratov. Bolj natančno:

(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2) \!\,
=(a_1 b_1-a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4)^2 + (a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2\,
+\,(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2)^2 + (a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1)^2\!\, .

Leonhard Euler je pisal o tej enakosti leta 1750. Lahko jo dokažemo z elementarno algebro in velja za vsak komutativni kolobar. Če so števila ai in bi realna, obstaja še bolj ličen dokaz: enakost izraža dejstvo, da je absolutna vrednost produkta dveh kvaternionov enaka produktu njunih absolutnih vrednosti.

Enakost je uporabil Joseph-Louis de Lagrange pri dokazu svojega izreka štirih kvadratov.