Eksponent matrike

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Eksponent matrike je matrična funkcija, ki se izvaja nad kvadratnimi matrikami. Funkcija je podobna kot običajna naravna eksponentna funkcija. Če je  X \, realna ali kompleksna matrika z razsežnostjo  n \times n \,, potem njeno naravno eksponentno matriko označujemo z  e^X \, ali  \exp(X) \, in je enaka

e^\mathbf{X} = \sum_{k=0}^\infty{1 \over k!}\mathbf{X}^k \,.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Če sta  X \, in  Y \, kompleksni matriki z razsežnostjo  n \times n \, in sta  a \, in  b \, poljubni kompleksni števili, potem ima vrednost eksponenta matrike, naslednje lastnosti ( I \, je enotska matrika):

Določanje vrednosti matričnih eksponentov[uredi | uredi kodo]

V nadaljevanju je podanih nekaj načinov določanja vrednosti eksponentov matrik:

Diagonalna matrika[uredi | uredi kodo]

Kadar je matrika diagonalna

A=\begin{bmatrix} a_1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & a_2 & \ldots & 0  \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & a_n \end{bmatrix}, izračunamo vrednost njenega eksponenta tako, da izračunamo eksponent vsakega elementa na glavni diagonali
e^A=\begin{bmatrix} e^{a_1} & 0 & \ldots & 0 \\
0 & e^{a_2} & \ldots & 0  \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & e^{a_n} \end{bmatrix}.

To omogoča , da določimo vrednost eksponenta diagonalizabilne matrike. Kadar je matrika  A \, takšna, da velja  A = UDU^{-1} \, in je  D  \, diagonalna matrika, potem velja  e^A = Ue^DUe^{-1} \,.

Nilpotentnost[uredi | uredi kodo]

Matrika  N \, je nilpotentna, če velja  N^q = 0 \, za poljubno celo število  q \,. V tem primeru lahko izračunamo eksponent matrike neposredno iz razvoja v vrsto, ker se vrsta konča po končnem številu členov

e^N = I + N + \frac{1}{2}N^2 + \frac{1}{6}N^3 + \cdots + \frac{1}{(q-1)!}N^{q-1}..

Uporaba[uredi | uredi kodo]

V linearnih diferencialnih enačbah[uredi | uredi kodo]

Eksponent matrike lahko uporabljamo v sistemih linearnih diferencialnih enačb. Običajna oblika linearne diferencialne enačbe

 \mathbf{y}' = C\mathbf{y}

ima rešitev eCty(0).

Če vzamemo vektor

 \mathbf{y}(t) = \begin{bmatrix} y_1(t) \\ \vdots \\y_n(t) \end{bmatrix}

potem lahko napišemo linearno diferencialno enačbo kot

 \mathbf{y}'(t) = A\mathbf{y}(t)+\mathbf{b}(t)..

To nam pa da

e^{-At}\mathbf{y}'-e^{-At}A\mathbf{y} = e^{-At}\mathbf{b}
e^{-At}\mathbf{y}'-Ae^{-At}\mathbf{y} = e^{-At}\mathbf{b}
 \frac{d}{dt} (e^{-At}\mathbf{y}) = e^{-At}\mathbf{b}.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]