Dualna krivulja

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Krivulji, ki sta dualni druga drugi; glej spodaj Lastnosti.

Dualna krivulja je v projektivni geometriji za dano krivuljo  C \, krivulja v dualni projektivni ravnini, ki jo sestavlja množica tangentnih premic na  C \,. Obstoja preslikava iz krivulje v njeno dualno obliko .

Parametrična oblika dualne krivulje[uredi | uredi kodo]

Za parametrično določeno krivuljo je dualna krivulja definirana s parametričnima enačbama

X[x,y]=\frac{y'}{yx'-xy'}
Y[x,y]=\frac{x'}{xy'-yx'}

Dualna točka prevoja nam da točko obrata. Dve točki, ki imata skupno tangento, bosta dali točko, kjer dualna krivulja seka samo sebe.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Gladke krivulje[uredi | uredi kodo]

  • Če je  X \, gladka algebrska krivulja s stopnjo  d>1 , potem je dualna krivulja (običajno singularna) ravninska krivulja s stopnjo  d(d-1) .
  • Če je  d>2 , potem je  d-1>1 in je  d(d-1)>d in dualna krivulja mora biti singularna.
  • Če je  d=2 , je tudi stopnja dualne krivulje tudi 2. Dualna krivulja stožnice je tudi stožnica.

Singularne krivulje[uredi | uredi kodo]

  • za poljubno ravninsko algebrsko krivuljo  X \, s stopnjo  d>1 je njena dualna krivulja ravninska s stopnjo  d(d-1) - \delta , kjer je  \delta število singularnosti na krivulji  X \,. Pri tem se vse singularnosti ne upoštevajo enako. Vsak vozel se množi z 2, vsaka točka obrata s 3.

Posplošitve[uredi | uredi kodo]

Podobno je pri posplošitvah na več razsežnosti. Pri tem dobimo hiperploskve, ker v vsaki točki tangentnega prostora dobimo družino hiperploskev. Te definirajo dualno hiperploskev v dualnem prostoru.

Za poljubno zaprto podvarieteto  X \, v projektivnem prostoru tvori množica hiperravnin, ki so tangentne v neki točki  X \,, zaprto podvarieteto dualno projektivni ravnini.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]