Dokaz s protislovjem

Dokàz s protislóvjem je vrsta logičnega argumenta, kjer se za potrebe argumenta privzame neko predpostavko T kot pravilno in s sklepanjem iz te trditve in drugih že dokazanih trditev in aksiomov pride do protislovnega rezultata, iz česar se lahko sklepa, da je predpostavka T nujno logično napačna.

Ta vrsta dokaza se imenuje tudi prevedba na protislovje – z latinsko tujko reductio ad absurdum v dobesednem prevodu »prevedba na absurd«; temu izrazu lahko sledimo do grškega izraza ἡ εις το αδυνατον απαγωγη, ki ga je pogosto uporabljal Aristotel in pomeni »prevedba na nemogoče«. Tovrstni dokaz uporablja zakon izključene tretje možnosti; stavek, ki ne more biti napačen, mora biti nujno pravilen.

Zgled

Želi se pokazati, da ${\sqrt {2}}$ ni racionalno število. Za potrebe dokaza s protislovjem se privzame nasprotno predpostavko T:

T (začasno privzeta predpostavka): ${\sqrt {2}}$ je racionalno število, torej oblike p/q, kjer sta p in q tuji celi števili.

Odtod velja:

${p^{2} \over q^{2}}=2$ ali $p^{2}=2\cdot q^{2}\!\,.\quad (*)$

Število $p^{2}$ je sodo, torej je sodo tudi število p. Zapišimo p in q z enoličnim razcepom na prafaktorje:

$p=p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots p_{n}\!\,,$

$q=q_{1}\cdot q_{2}\cdot \ldots q_{m}\!\,.$

Iz (*) se zapiše, da velja:

$p_{1}^{2}\cdot p_{2}^{2}\cdot \ldots p_{n}^{2}=2\cdot q_{1}^{2}\cdot q_{2}^{2}\cdot \ldots q_{m}^{2}\!\,.$

Ker je to razcep na praštevila, se mora praštevilo 2, ki se pojavlja na desni strani, nujno pojavljati tudi na levi strani enačbe, torej mora biti neki $p_{j}=2$ (privzeti se sme, da je kar $p_{1}=2$). Zdaj se enačbo okrajša z 2 in se dobi:

$2\cdot p_{2}^{2}\cdot \ldots p_{n}^{2}=q_{1}^{2}\cdot q_{2}^{2}\cdot \ldots q_{m}^{2}\!\,.$

Z istim sklepanjem kot prej se je dobilo, da mora biti tudi neki $q_{l}=2$. Torej 2 deli p in q hkrati, kar je protislovje s tem, da je p/q okrajšani ulomek (p in q sta tuji).

Edina predpostavka, ki se je naredila, je predpostavka T, da je ${\sqrt {2}}$ racionalno število, torej mora biti ta nujno napačna. S protislovjem se je torej pravkar dokazalo, da je ${\sqrt {2}}$ iracionalno število.

Glej tudi

• dokaz z neskončnim spustom (metoda neskončnega spusta)