Diederski kot

Diederski kot treh vektorjev, ki so določeni kot zunanji sferni kot. Daljši in krajši črni deli loka na velikem krogu potekajo skozi vektorje $\mathbf{b}_{1}$ in $\mathbf{b}_{2}$ ter skozi $\mathbf{b}_{2}$ in $\mathbf{b}_{3}$.

Diederski kot definiran s tremi vektorji (v rdeči, zeleni in modri barvi), ki povezujejo štiri atome.

Diederski kot, določen s tremi povezovalnimi vektorji (prikazani v rdeči, zeleni modri barvi), ki povezujejo štiri atome. Iz te perspektive je drugi povezovalni vektor (zelen) izunaj slike.

Osnova (ogrodje) diederskih kotov proteinov.

Diederski kot (tudi torzijski kot) je v geometriji kot med dvema ravninama.

Diederski kot med dvema ravninama si lahko predstavljamo kot, da gledamo ravnini od strani vzdolž presečne premice. Diederski kot $\varphi_{AB}$ med dvema ravninama A in B je kot med dvema na ravnino pravokotnima enotskima vektorjema $\mathbf{n}_{A}$ in $\mathbf{n}_{B}:$

$\cos \varphi_{AB} = \mathbf{n}_A \cdot \mathbf{n}_B$.

Diederski kot lahko ima predznak. Diederski kot $\varphi_{AB}$ lahko definiramo kot kot za katerega moramo zavrteti, da se poravna z ravnino B. To pomeni, da velja $\varphi_{AB} = -\varphi_{BA}$.

V višjih razsežnostih diederski kot predstavlja kot med dvema hiperravninama

Druge definicije

Poznamo več definicij diederskega kota.

Ravnino lahko definiramo z dvema nekolinearnima vektorjema, ki ne ležita v ravnini. Če vzamemo vektorski produkt, nam normalizacija da pravokotne normalne vektorje na ravnino. Na ta način lahko diederski kot definiramo s štirimi paroma nekolinearnimi vektorji.

Diederski kot lahko definiramo tudi kot kot diederski kot treh nekolinearnih vektorjev $\mathbf{b}_{1}$, $\mathbf{b}_{2}$ in $\mathbf{b}_{3}$ (na prvi sliki so prikazani v rdeči, zeleni in modri barvi). Vektorja $\mathbf{b}_{1}$ in $\mathbf{b}_{2}$ določata prvo ravnino, vektorja $\mathbf{b}_{2}$ in $\mathbf{b}_{3}$ pa določata drugo ravnino. Diederski kot odgovarja zunanjemu sfernemu kotu. Ta je definiran kot

$\varphi = \operatorname{atan2} \left( |\mathbf{b}_2| \mathbf{b}_1 \cdot [\mathbf{b}_2 \times \mathbf{b}_3], [\mathbf{b}_1 \times \mathbf{b}_2] \cdot [\mathbf{b}_2 \times \mathbf{b}_3] \right)$

kjer je

• $\operatorname{atan2}$ funkcija z dva argumentoma (variacija krožne funkcije arctangens).

Diederski koti in poliedri

Vsak polieder pravilni ali nepravilni ter konveksni ali konkavni ima diederski kot pri vsakem robu.

Diederski kot je notranji kot srečanja dveh sosednjih stranskih ploskev. Kadar je enak nič stopinj, to pomeni, da sta stranski ploskvi antiparalelni. V tem primeru se stranske ploskve prekrivajo (degenerirani polieder). Kadar pa je diederski kot enak 180º, to pomeni, da so stranske ploskve vzporedne (podobno je pri tlakovanju). Na konkavnih delih poliedra je kot večji od 180º.

Vsak diederski kot na poliedru, ki je robovno tranzitiven ima enako vrednost. To vključuje pet platonskih teles, štiri Kepler-Poisotove poliedre od katerih sta dva kvazipravilna in dva kvazipravilna duala.

Načini izračunavanja

Diederski kot med dvema ravninama lahko določimo takrat, ko je možno določiti pravokotni vektor na vsako ravnino. Eden izmed načinov je uporaba vektorskega produkta. Če so A₁, A₂ in A₃ tri nekolinearne točke na ravninah A₁, A₂ in A₃. Naj bodo B₁, B₂ in B₃ tri nekolinearne točke na ravnini B. V tem primeru je U_A = A₂−A₁ × A₃−A₁ je pravokoten na ravnino A ter U_B = B₂−B₁ × B₃−B₁ je pravokoten na ravnino B.

Nepredznačen diederski kot se nato lahko določi iz

$\varphi_{AB}=\arccos \left(\frac{|U_A \centerdot U_B|}{|U_A| |U_B|}\right) = \arcsin \left(\frac{|U_A \times U_B|}{|U_A| |U_B|}\right).$

Naslednji način za določanje diederskega kota je v tem, da se vzame poljuben vektor V, ki ni tangenten na nobeno od dveh ravnin. Z uporabo Gram-Schmidtovega postopka za tri vektorje (A₂−A₁, A₃−A₁, V) dobimo ortonormalno bazo prostora. Tretji vektor je pravokoten na ravnino A. Če podobno naredimo še za vektorje (B₂−B₁, B₃−B₁, V), dobimo vektor, ki je pravokoten na ravnino B. Kot med tema dvema vektorjema se lahko določi s poljubno metodo za določanje kotov med vektorji. To se lahko posploši na višje razsežnosti.