Diedrski kot

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
(Preusmerjeno s strani Diederski kot)
Skoči na: navigacija, iskanje
Diedrski kot treh vektorjev, ki so določeni kot zunanji sferni kot. Daljši in krajši črni deli loka na velikem krogu potekajo skozi vektorje \mathbf{b}_{1} in \mathbf{b}_{2} ter skozi \mathbf{b}_{2} in \mathbf{b}_{3}.
Diedrski kot definiran s tremi vektorji (v rdeči, zeleni in modri barvi), ki povezujejo štiri atome.
Diedrski kot, določen s tremi povezovalnimi vektorji (prikazani v rdeči, zeleni modri barvi), ki povezujejo štiri atome. Iz te perspektive je drugi povezovalni vektor (zeleni) zunaj slike.
Osnova (ogrodje) diedrskih kotov beljakovin

Diedrski kot (tudi torzijski kot) je v geometriji kot med dvema ravninama.

Diedrski kot med dvema ravninama si lahko predstavljamo kot, da gledamo ravnini od strani vzdolž presečne premice. Diedrski kot \varphi_{AB} med dvema ravninama A in B je kot med dvema na ravnino pravokotnima enotskima vektorjema \mathbf{n}_{A} in \mathbf{n}_{B}:

\cos \varphi_{AB} = \mathbf{n}_A \cdot \mathbf{n}_B .

Diedrski kot lahko ima predznak. Diedrski kot \varphi_{AB} lahko definiramo kot kot za katerega moramo zavrteti, da se poravna z ravnino B. To pomeni, da velja \varphi_{AB} = -\varphi_{BA}.

V višjih razsežnostih diedrski kot predstavlja kot med dvema hiperravninama [1]

Druge definicije[uredi | uredi kodo]

Poznamo več definicij diedrskega kota.

Ravnino lahko definiramo z dvema nekolinearnima vektorjema, ki ne ležita v ravnini. Če vzamemo vektorski produkt, nam normalizacija da pravokotne normalne vektorje na ravnino. Na ta način lahko diedrski kot definiramo s štirimi paroma nekolinearnimi vektorji.

Diedrski kot lahko definiramo tudi kot kot diedrski kot treh nekolinearnih vektorjev \mathbf{b}_{1}, \mathbf{b}_{2} in \mathbf{b}_{3} (na prvi sliki so prikazani v rdeči, zeleni in modri barvi). Vektorja \mathbf{b}_{1} in \mathbf{b}_{2} določata prvo ravnino, vektorja \mathbf{b}_{2} in \mathbf{b}_{3} pa določata drugo ravnino. Diedrski kot odgovarja zunanjemu sfernemu kotu. Ta je definiran kot


\varphi = \operatorname{atan2} \left( |\mathbf{b}_2| \mathbf{b}_1 \cdot [\mathbf{b}_2 \times \mathbf{b}_3], [\mathbf{b}_1 \times \mathbf{b}_2] \cdot [\mathbf{b}_2 \times \mathbf{b}_3] \right)

kjer je

Diedrski koti in poliedri[uredi | uredi kodo]

Vsak polieder pravilni ali nepravilni ter konveksni ali konkavni ima diedrski kot pri vsakem robu.

Diedrski kot je notranji kot srečanja dveh sosednjih stranskih ploskev. Kadar je enak nič stopinj, to pomeni, da sta stranski ploskvi antiparalelni. V tem primeru se stranske ploskve prekrivajo (degenerirani polieder). Kadar pa je diedrski kot enak 180º, to pomeni, da so stranske ploskve vzporedne (podobno je pri tlakovanju). Na konkavnih delih poliedra je kot večji od 180º.

Vsak diedrski kot na poliedru, ki je robovno tranzitiven ima enako vrednost. To vključuje pet platonskih teles, štiri Kepler-Poisotove poliedre od katerih sta dva kvazipravilna in dva kvazipravilna duala.

Načini izračunavanja[uredi | uredi kodo]

Diedrski kot med dvema ravninama lahko določimo takrat, ko je možno določiti pravokotni vektor na vsako ravnino. Eden izmed načinov je uporaba vektorskega produkta. Če so A1, A2 in A3 tri nekolinearne točke na ravninah A1, A2 in A3. Naj bodo B1, B2 in B3 tri nekolinearne točke na ravnini B. V tem primeru je UA = A2A1 × A3A1 je pravokoten na ravnino A ter UB = B2B1 × B3B1 je pravokoten na ravnino B.

Nepredznačen diedrski kot se nato lahko določi iz

\varphi_{AB}=\arccos \left(\frac{|U_A \centerdot U_B|}{|U_A| |U_B|}\right) = \arcsin \left(\frac{|U_A \times U_B|}{|U_A| |U_B|}\right).

Naslednji način za določanje diedrskega kota je v tem, da se vzame poljuben vektor V, ki ni tangenten na nobeno od dveh ravnin. Z uporabo Gram-Schmidtovega postopka za tri vektorje (A2A1, A3A1, V) dobimo ortonormalno bazo prostora. Tretji vektor je pravokoten na ravnino A. Če podobno naredimo še za vektorje (B2B1, B3B1, V), dobimo vektor, ki je pravokoten na ravnino B. Kot med tema dvema vektorjema se lahko določi s poljubno metodo za določanje kotov med vektorji. To se lahko posploši na višje razsežnosti.

Sklici[uredi | uredi kodo]