Diagonalizabilna matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Diagonalizabilna matrika je matrika, ki je podobna diagonalni matriki. To pomeni, da mora obstajati takšna obrnljiva matrika  P \,, da je matrika  P^{-1}AP \, diagonalna matrika.

Postopek pretvorbe matrike v diagonalno matriko imenujemo diagonalizacija.

Diagonalne matrike so zanimive zato, ker je delo z njimi zelo enostavno. Njihove lastne vrednosti in vektorji so znani in potenco matrike izračunamo tako, da potenciramo diagonalne elemente.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Matrika  A \, z razsežnostjo  n \times n \, je diagonalizabilna nad obsegom  F \,, če in samo, če je vsota razsežnost lastnih prostorov enaka  n \,.

Diagonalizacija[uredi | uredi kodo]

Kadar je matrika  A \, diagonalizabilna, to pomeni, da velja

P^{-1}AP=\begin{pmatrix}\lambda_{1}\\
& \lambda_{2}\\
& & \ddots\\
& & & \lambda_{n}\end{pmatrix}
\,

V tem primeru je

AP=P\begin{pmatrix}\lambda_{1}\\
& \lambda_{2}\\
& & \ddots\\
& & & \lambda_{n}\end{pmatrix} \,

Če pišemo  P \, kot bločno matriko s vrstičnimi vektorji

P=\begin{pmatrix}\vec{\alpha}_{1} & \vec{\alpha}_{2} & \cdots & \vec{\alpha}_{n}\end{pmatrix},,

potem lahko pišemo zgornjo enačbo kot

A\vec{\alpha}_{i}=\lambda_{i}\vec{\alpha}_{i}\qquad(i=1,2,\cdots,n) \, .

Iz tega vidimo, da so stolpični vektorji matrike  P \, lastni vektorji matrike  A \,, pripadajoče diagonalne vrednosti pa so lastne vrednosti.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]