Devetinpetdeset ikozaedrov

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Diagram stelacije ikozaedra z osrednjim trikotnikom, kjer je označen prvotni ikozaeder.

Devetinpetdeset ikozaedrov je knjiga, ki so je napisali in ilustrirali Coxeter (1907 -2003) in Du Val (1903-1987), V. T. Flather in J. F Petrie. Oštevilčili so večje število stelacij pravilnih konveksnih ali platonskih ikozaedrov v skladu s pravili, ki jih je postavil Miller.

Najprej je bila izdana na Univerzi v Torontu v letu 1938, drugo izdajo je pripravil Springer-Verlag v letu 1982. K. In D. Crennell sta obnovila besedilo in ponovno narisala diagrame za Tarqiunovo tretjo izdajo v letu 1999. Dodala sta še nekaj snovi in fotografij.

Prispevki avtorjev[uredi | uredi kodo]

Millerjeva pravila[uredi | uredi kodo]

Čeprav Miller (1906-1981) ni neposredno prispeval h knjigi, je bil močan prijatelj Coxeterja in Petria. Njegov prispevek je postal nesmrten s skupino pravil za definicijo oblik stelacije in jih lahko obravnavamo kot "posebno pomembne":

(i) Stranske ploskve morajo ležati v dvanajstih ravninah, to pa so povezovalne ravnine pravilnega ikozaedra.
(ii) Vsi deli, ki sestavljajo stranske ploskve morajo biti v isti ravnini, čeprav so nepovezani.
(iii) Vsi deli, ki so vključeni v eno ravnino morajo imeti trigonalno simetrijo brez ali s zrcaljenja. To zagotavlja ikozaedersko simetrijo celega telesa.
(iv) Vsi iz ene ravnine morajo biti "dosegljivi" v celotnem telesu (to pa pomeni, da morajo biti "zunanji". V nekaterih primerih to zahteva ogromne modele, da bi se videla celotna zunanjost. Z modeli običajne velikosti sonekateri deli "zunaj".
(v) Ne obravnavamo pa primerov, kjer lahko dele delimo v dve skupini, ki dasta telesu, lastnost, da ima vsak del toliko simetrije kot celotno telo. Dovolimo pa kombinacijo enenciomorfnih parov, ki nimajo skupnega dela, kar se pojavlja samo v enem primeru.

Pravila (I) do (III) so zahteve po simetriji za ravnine stranskih ploskev. Pravilo (IV) izključuje zakopane skrite luknje, tako, da nobeni dve stelaciji na zunaj ne izgledata enako. Pravilo (V) preprečuje, da bi bi nastali poljubni nepovezani sestavi enostavnejših stelacij.

Icosagraph.svg

Coxeter[uredi | uredi kodo]

Coxeter je bil glavna gonilna sila pri svojem delu. Izdelal je analizo Millerjevih pravil in pri tem uporabil večje število tehnik, kot so kombinatorika in abstraktna teorija grafov. Uporaba teh tehnik v geometrijskem okolju je bila takrat novost.

Opazil je, da diagrami stelacije uporabljajo mnoge segmente premic. Razvil je postopek za delo s kombinacijo sosednjih področij ravnin. Pri tem je oštevilčil dovoljene kombinacije, ki jih dovoljujejo Millerjeva pravila.

Njegova slika, ki je prikazana tukaj, prikazuje različne stranske ploskve, ki jih najdemo v diagramu stelacije (glej spodaj). Grški simboli predstavljajo množico možnih alternativ:

λ je lahko 3 ali 4
μ je lahko 7 ali 8
ν je lahko 11 ali 12

Du Val[uredi | uredi kodo]

Du Val je prispeval simbolično označevanje za določanje množice skladnih celic, ki so osnovane na opažanjih, da ležijo v "lupinah" okoli prvotnega ikozaedra. Na osnovi tega je preizkusil vse možne kombinacije Millerjevih pravil in s tem je potrdil Coxeterjev bolj analitični pristop.

Flather[uredi | uredi kodo]

Flatherjev prispevek je bil bolj posreden. Pripravil je modele vseh devetinpetdesetih ikozaedrov. Ko je prvič srečal Coxeterja je že izdelal mnoge stelacije vključno z neMillerjevimi primeri. Dodal je še popolno skupino devetinpetdesetih ikozaedrov, ki so bili ohranjeni v matematični knjižnici Univerze v Cambridgu na Angleškem. Knjižnica je imela tudi nekaj neMillerjevih modelov, toda ni jasno kateri od njih je naredil Flather in katere Millerjevi študentje [1].

Petrie[uredi | uredi kodo]

John Flinders Petrie je bil dolgoletni prijatelj Coxeterja. Tako je imel možnost spoznati štirirazsežmo geometrijo. On in Coxeter sta delala skupaj na mnogih metematičnih problemih. Njegov prispevek k devetinpetdesetim ikozaedrom je bil v mnogih brezštevilnih množicah trirazsežnih risb, ki so občudovanja vredne.

Crennela[uredi | uredi kodo]

Za tretjo izdajo sta Kate in David Crennell popolnoma obnovila besedilo ter ponovno narisala slike in diagrame.

Diagram stelacije z oštevilčenimi celicami
Diagram celic z Du Valovo notacijo za celice

Pregled devetinpedesetih ikozaedrov[uredi | uredi kodo]

Pred Coxeterjem sta samo Brückner in Wheeler opazila pomembno množico stelacij, čeprav jih je bilo prej znanih zelo malo. Po izdaji dela Devetinpetdeset je Wenninger objavil navodila za izdelavo nekaterih modelov. Številčenje v tej knjigi je postalo široko uporabljano, čeprav je bilo v njem omenjenih samo nekaj stelacij.

Opombe[uredi | uredi kodo]

Števike indeksov so Crennellove, če ni drugače zapisano.

Crennell[uredi | uredi kodo]

V številčenju, ki je bilo dodano tretji izdaji, je Creenell prvih 32 oblik in zrcalnih modelov ter zadnjih 27 je kiralnih, ki imajo samo desne oblike. To je posledica reda v katerem so stelacije prikazane v knjigi.

Celice[uredi | uredi kodo]

V Du Valovi notaciji je vsaka lupina zapisana v mastnem tisku, to je a, b, c, ..., h kjer je a prvotni ikozaeder. Nekatere lupine se delijo v dve skupini celic, kot na primer e vključuje e1 in e2. Množica f1 se deli še na desno-sučne in levo-sučne oblike

Stranske ploskve[uredi | uredi kodo]

Vse stelacije se lahko izrazijo s pomočjo diagrama stelacije. V diagramu, ki je prikazan, barve označujejo področja

Wheeller[uredi | uredi kodo]

Wheeller je našel obliko ikozaedra, tako, da je izbral segmente premice iz diagrama stelacije. Ločil je med Keplerjevo in klasičnim postopkom stelacije. Coxeter je s sodelavci prezrl to razliko in je obravnaval vse kot stelacije.

Brückner[uredi | uredi kodo]

Brückner je naredil in fotografiral modele mnogih poliedrov. Od njih jih je bilo bolj malo ikozaedrov.

Opombe[uredi | uredi kodo]

Številka 8 se včasih imenuje ehinaeder, ki ima ime po navidezni podobnosti s kljunatim ježkom. Ta uporaba izraza je neodvisna od Keplerjevega opisa tega pravilnega zvezdnega poliedra, ki ga on imenuje ehidna in spada v red kljunatih ježkov.

Crennell VRML Celice Stranska ploskev Wenninger Wheeler Brückner Opombe Stranske ploskve Slika 3D
1 [1] A 0 04
ikozaeder
1 platonski ikozaeder Zeroth stellation of icosahedron facets.png Stellation icosahedron A.png
2 [2] B 1 26
triakisni ikozaeder
2 tabela VIII, slika 2 prva stelacija ikozaedra,
mali triambski ikozaeder,
ali triakisikozaeder
First stellation of icosahedron facets.png Stellation icosahedron B.png
3 [3] C 2 23
sestav petih oktaedrov
3 tabela IX, slika 6 pravilni poliedrski sestav sestav petih oktaedrov First compound stellation of icosahedron facets.png Stellation icosahedron C.png
4 [4] D 3 4 99 4 tabela IX, slika 17 Stellation icosahedron d facets.png Stellation icosahedron D.png
5 ikozaeder_(5)_(5_color).wrl E 5 6 7 99 99 Stellation icosahedron E.png
6 ikozaeder_(6)_(5_color).wrl F 8 9 10 27
druga stelacija
19 Second stellation of icosahedron facets.png Stellation icosahedron F.png
7 stellated_icosahedron_(7)_(5_color).wrl G 11 12 41
veliki ikozaeder
11 tabela XI, slika 24 veliki ikozaeder Sixteenth stellation of icosahedron facets.png Stellation icosahedron G.png
8 [5] H 13 42
končna stelacija
12 tabela XI, slika 14 končna stelacija ikozaedra ali ehinaeder Seventeenth stellation of icosahedron facets.png Stellation icosahedron H.png
9 [6] e1 3' 5 37
dvanajsta stelacija
99 Twelfth stellation of icosahedron facets.png Stellation icosahedron e1.png
10 [7] f1 5' 6' 9 10 99 99 Stellation icosahedron f1.png
11 [8] g1 10' 12 29
četrta stelacija
21 Fourth stellation of icosahedron facets.png Stellation icosahedron g1.png
12 [9] e1f1 3' 6' 9 10 99 99 Stellation icosahedron e1f1.png
13 [10] e1f1g1 3' 6' 9 12 99 20 Stellation icosahedron e1f1g1.png
14 [11] f1g1 5' 6' 9 12 99 99 Stellation icosahedron f1g1.png
15 [12] e2 4' 6 7 99 99 Stellation icosahedron e2.png
16 [13] f2 7' 8 99 22 Stellation icosahedron f2.png
17 [14] g2 8' 9' 11 99 99 Stellation icosahedron g2.png
18 [15] e2f2 4' 6 8 99 99 Stellation icosahedron e2f2.png
19 [16] e2f2g2 4' 6 9' 11 99 99 Stellation icosahedron e2f2g2.png
20 [17] f2g2 7' 9' 11 30
peta stelacija
99 Fifth stellation of icosahedron facets.png Stellation icosahedron f2g2.png
21 [18] De1 4 5 32
sedma stelacija
10 Seventh stellation of icosahedron facets.png Stellation icosahedron De1.png
22 [19] Ef1 7 9 10 25
sestav desetih tetraedrov
8 tabela IX, slika 3 pravilni poliedrski sestav sestav desetih tetraedrov Third compound stellation of icosahedron facets.png Stellation icosahedron Ef1.png
23 [20] Fg1 8 9 12 31
šesta stelacija
17 tabela X, slika 3 Sixth stellation of icosahedron facets.png Stellation icosahedron Fg1.png
24 [21] De1f1 4 6' 9 10 99 99 Stellation icosahedron De1f1.png
25 [22] De1f1g1 4 6' 9 12 99 99 Stellation icosahedron De1f1g1.png
26 [23] Ef1g1 7 9 12 28
tretja stelacija
9 tabela VIII, slika 26 izkopani dodekaeder Third stellation of icosahedron facets.png Stellation icosahedron Ef1g1.png
27 [24] De2 3 6 7 99 5 Stellation icosahedron De2.png
28 [25] Ef2 5 6 8 99 18 tabela IX, slika 20 Stellation of icosahedron ef2 facets.png Stellation icosahedron Ef2.png
29 [26] Fg2 10 11 33
osma stelacija
14 Eighth stellation of icosahedron facets.png Stellation icosahedron Fg2.png
30 [27] De2f2 3 6 8 34
deveta stelacija
13 srednji triambski ikozaeder ali
veliki triambski ikozaeder
Ninth stellation of icosahedron facets.png Stellation icosahedron De2f2.png
31 [28] De2f2g2 3 6 9' 11 99 99 Stellation icosahedron De2f2g2.png
32 [29] Ef2g2 5 6 9' 11 99 99 Stellation icosahedron Ef2g2.png
33 [30] f1 5' 6' 9 10 35
deseta stelacija
99 Tenth stellation of icosahedron facets.png Stellation icosahedron f1d.png
34 [31] e1f1 3' 5 6' 9 10 36
enajsta stelacija
99 Eleventh stellation of icosahedron facets.png Stellation icosahedron e1f1d.png
35 [32] De1f1 4 5 6' 9 10 99 99 Stellation icosahedron De1f1d.png
36 [33] f1g1 5' 6' 9 10' 12 99 99 Stellation icosahedron f1dg1.png
37 [34] e1f1g1 3' 5 6' 9 10' 12 39
štirinajsta stelacija
99 Fourteenth stellation of icosahedron facets.png Stellation icosahedron e1f1dg1.png
38 [35] De1f1g1 4 5 6' 9' 10' 12 99 99 Stellation icosahedron De1f1dg1.png
39 [36] f1g2 5' 6' 8' 9' 10 11 99 99 Stellation icosahedron f1dg2.png
40 [37] e1f1g2 3' 5 6' 8' 9' 10 11 99 99 Stellation icosahedron e1f1dg2.png
41 [38] De1f1g2 4 5 6' 8' 9' 10 11 99 99 Stellation icosahedron De1f1dg2.png
42 [39] f1f2g2 5' 6' 7' 9' 10 11 99 99 Stellation icosahedron f1df2g2.png
43 [40] e1f1f2g2 3' 5 6' 7' 9' 10 11 99 99 Stellation icosahedron e1f1df2g2.png
44 [41] De1f1f2g2 4 5 6' 7' 9' 10 11 99 99 Stellation icosahedron De1f1df2g2.png
45 [42] e2f1 4' 5' 6 7 9 10 40
petnajsta stelacija
99 Fifteenth stellation of icosahedron facets.png Stellation icosahedron e2f1d.png
46 [43] De2f1 3 5' 6 7 9 10 99 99 Stellation icosahedron De2f1d.png
47 [44] Ef1 5 6 7 9 10 24
sestav petih tetraedrov
7
(6: levo-sučni)
tabela IX, slika 11 pravilni poliedrski sestav sestav petih tetraedrov (desno-sučni) Second compound stellation of icosahedron facets.png Stellation icosahedron Ef1d.png
48 [45] e2f1g1 4' 5' 6 7 9 10' 12 99 99 Stellation icosahedron e2f1dg1.png
49 [46] De2f1g1 3 5' 6 7 9 10' 12 99 99 Stellation icosahedron De2f1dg1.png
50 [47] Ef1g1 5 6 7 9 10' 12 99 99 Stellation icosahedron Ef1dg1.png
51 [48] e2f1f2 4' 5' 6 8 9 10 38
trinajsta stelacija
99 Thirteenth stellation of icosahedron facets.png Stellation icosahedron e2f1df2.png
52 [49] De2f1f2 3 5' 6 8 9 10 99 99 Stellation icosahedron De2f1df2.png
53 [50] Ef1f2 5 6 8 9 10 99 15
(16: levo-sučni)
Stellation icosahedron Ef1df2.png
54 [51] e2f1f2g1 4' 5' 6 8 9 10' 12 99 99 Stellation icosahedron e2f1df2g1.png
55 [52] De2f1f2g1 3 5' 6 8 9 10' 12 99 99 Stellation icosahedron De2f1df2g1.png
56 [53] Ef1f2g1 5 6 8 9 10' 12 99 99 Stellation icosahedron Ef1df2g1.png
57 [54] e2f1f2g2 4' 5' 6 9' 10 11 99 99 Stellation icosahedron e2f1df2g2.png
58 [55] De2f1f2g2 3 5' 6 9' 10 11 99 99 Stellation icosahedron De2f1df2g2.png
59 [56] Ef1f2g2 5 6 9' 10 11 99 99 Stellation icosahedron Ef1df2g2.png

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]