Cullenovo število

Cullenovo število je v matematiki naravno število oblike:

$C_{n} \equiv n 2^{n} + 1; \quad n > 0 \!\, .$

Cullenova števila je prvi raziskoval irski matematik častiti James Cullen leta 1905. Prva Cullenova števila so (OEIS A002064):

1, 3, 9, 25, 65, 161, 385, 897, 2049, 4609, 10241, 22529, 49153, 106497, ...

Dokazano je, da so skoraj vsa Cullenova števila sestavljena. Cullenova števila, ki so tudi praštevila, so Cullenova praštevila. Prvi dve Cullenovi praštevili sta (OEIS A050920):

3, 393050634124102232869567034555427371542904833, ...

Edina znana Cullenova praštevila so tista, ko je n enak (OEIS A005849):

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899 in 1354828.

Vseeno pa domnevajo, da obstaja neskončno mnogo Cullenovih praštevil. Mark Rodenkirch je avgusta 2005 odkril največje znano Cullenovo praštevilo:

$C_{1354828} = 1354828 \cdot 2^{1354828} + 1 \; .$

Cullenovo število C_n je deljivo s p = 2n − 1, če je p praštevilo oblike 8k - 3. Iz Fermatovega malega izreka izhaja naprej, da če je p liho praštevilo, potem p deli C_m(k) za vsak m(k) = (2^k − k)   (p − 1) − k (za k > 0). Pokazali so tudi, da praštevilo p deli C_{(p + 1) / 2}, ko je Jacobijev simbol (2 | p) enak −1, in da p deli C_{(3p − 1) / 2}, ko je Jacobijev simbol (2 | p) enak +1.

Ni znano ali obstaja takšno praštevilo p, da je tudi C_p praštevilo.

Včasih je definirano posplošeno Cullenovo število, oblike n bⁿ + 1, kjer je n + 2 > b. Če lahko v tej obliki zapišemo praštevilo, se imenuje posplošeno Cullenovo praštevilo. Podobno določena Woodallova števila se včasih imenujejo Cullenova števila drugega reda.

Cullenova števila so poseben primer Prothovih števil (za $n=n$ in $k=n$).

Viri

• James Cullen (1905). Question 15897. Educ. Times (December 1905), 534.
• Grasselli, Jože (2008). Enciklopedija števil. Ljubljana: DMFA - založništvo. ISBN 978-961-212-209-6. COBISS 243138304. 
• Richard Kenneth Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section B20.
• Wilfrid Keller, »New Cullen Primes«, Mathematics of Computation, 64 (1995) 1733-1741.

Zunanje povezave

• The Prime Glossary: Cullen number (v angleščini)
• Eric W. Weisstein Cullen number na MathWorld (v angleščini)
• Cullen prime: definition and status (v angleščini)