Cauchyjeva matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Cauchyjeva matrika je matrika z razsežnostjo  m \times n \,, ki ima elemente v obliki:

 c_{ij}={\frac{1}{x_i-y_j}};\quad x_i-y_j\neq 0,\quad 1 \le i \le m,\quad 1 \le j \le n \!\, ,

kjer je:

  •  x_i \, element obsega \mathcal{F}, elementi se med seboj razlikujejo
  •  y_j \, element obsega \mathcal{F}, elementi se med seboj razlikujejo

Cauchyjeva matrika je posebni primer Hilbertove matrike, kjer je:

 x_i-y_j = i+j-1 \!\, .

Vsaka podmatrika Cauchyjeve matrike je tudi Cauchyjeva matrika.

Imenuje se po francoskem matematiku Augustinu Louisu Cauchyju (1789 – 1857).

Determinanta[uredi | uredi kodo]

Determinanta Cauchyjeve matrike se določi po naslednjem obrazcu:

 \det \mathbf{A}={{\prod_{i=2}^n \prod_{j=1}^{i-1} (x_i-x_j)(y_j-y_i)}\over {\prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^n (x_i-y_j)}} \!\, .

Determinanta je vedno neničelna, kar pomeni, da je Cauchyjeva matrika obrnljiva. Elementi obrnjene matrike  A^{-1} = B = b_{ij} \, so enaki:

b_{ij} = (x_j - y_i) A_j(y_i) B_i(x_j) \!\, ,

kjer je:

kar je enako
A_i(x) = \frac{A(x)}{A^\prime(x_i)(x-x_i)} \quad\text{in}\quad B_i(x) = \frac{B(x)}{B^\prime(y_i)(x-y_i)},
in kjer je:
A(x) = \prod_{i=1}^n (x-x_i) \quad\text{in}\quad B(x) = \prod_{i=1}^n (x-y_i). .

Posplošitev[uredi | uredi kodo]

Vsaka matrika  C \, je Cauchyjevi podobna, če imajo njeni elementi obliko:

 c_{ij}=\frac{r_i s_j}{x_i-y_j} \!\, .

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]