Cauchyjeva matrika

Cauchyjeva matrika je matrika z razsežnostjo $m \times n \,$, ki ima elemente v obliki:

$c_{ij}={\frac{1}{x_i-y_j}};\quad x_i-y_j\neq 0,\quad 1 \le i \le m,\quad 1 \le j \le n \!\, ,$

kjer je:

• $x_i \,$ element obsega $\mathcal{F}$, elementi se med seboj razlikujejo
• $y_j \,$ element obsega $\mathcal{F}$, elementi se med seboj razlikujejo

Cauchyjeva matrika je posebni primer Hilbertove matrike, kjer je:

$x_i-y_j = i+j-1 \!\, .$

Vsaka podmatrika Cauchyjeve matrike je tudi Cauchyjeva matrika.

Imenuje se po francoskem matematiku Augustinu Louisu Cauchyju (1789 – 1857).

Determinanta

Determinanta Cauchyjeve matrike se določi po naslednjem obrazcu:

$\det \mathbf{A}={{\prod_{i=2}^n \prod_{j=1}^{i-1} (x_i-x_j)(y_j-y_i)}\over {\prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^n (x_i-y_j)}} \!\, .$

Determinanta je vedno neničelna, kar pomeni, da je Cauchyjeva matrika obrnljiva. Elementi obrnjene matrike $A^{-1} = B = b_{ij} \,$ so enaki:

$b_{ij} = (x_j - y_i) A_j(y_i) B_i(x_j) \!\, ,$

kjer je:

• $A_i(x) \,$ Lagrangeev polinom za $x_i \,$
• $B_i(x) \,$ Lagrangeev polinom za $y_i \,$

kar je enako

$A_i(x) = \frac{A(x)}{A^\prime(x_i)(x-x_i)} \quad\text{in}\quad B_i(x) = \frac{B(x)}{B^\prime(y_i)(x-y_i)},$

in kjer je:

$A(x) = \prod_{i=1}^n (x-x_i) \quad\text{in}\quad B(x) = \prod_{i=1}^n (x-y_i).$.

Posplošitev

Vsaka matrika $C \,$ je Cauchyjevi podobna, če imajo njeni elementi obliko:

$c_{ij}=\frac{r_i s_j}{x_i-y_j} \!\, .$

Glej tudi

• Toeplitzova matrika
• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Cauchyjeva matrika na PlanethMath (v angleščini)