Cartezijeva jajčnica

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Cartezijeva jajčnica (tudi Descartova jajčnica ali Descartov oval) je določen na naslednji način. Naj bodo P in Q fiksne točke v ravnini in vrednosti d(P, S) in d(S, Q) naj označujejo razdalje od teh točk do tretje točke S. Naj bodo m in a poljubna realna števila. Descartesova jajčnica je potem geometrijsko mesto točk, ki zadoščajo izrazu d(P, S) + m d(Q, S) = a. Dva ovala pa dobimo s pomočjo štirih enačb d(P, S) + m d(Q, S) = ± a in d(P, S) - m d(Q, S) = ± a. Te enačbe so si precej sorodne. Skupaj tvorijo ravninske krivulje četrte stopnje, ki jih imenujemo tudi Descartesove jajčnice [1] (ovali).

Posebni primeri[uredi | uredi kodo]

V enačbi d(P, S) + m d(Q, S) = a je lahko

Polinomska enačba[uredi | uredi kodo]

Množica točk (x, y) zadošča polinomsko enačbo [1] [2]

 [(1 - m^2)(x^2 + y^2) + 2m^{2}cx + a^2 - m^2 c^2]^2 = 4a^2(x^2 + y^2)

kjer je c razdalja d(P, Q) med dvema fiksnima goriščema v točkah P = (0, 0) in Q = (c, 0) ter tvorijo dve jajčnici. Pri tem pa zadoščajo naslednjim štirim enačbam

 d(P, S) \pm m d(Q, S) = a
 d(P, S) \pm m d(Q, S) = a [2], ki pa imajo realne rešitve. Dve jajčnici sta disjunktni, razen takrat, ko sta P in Q na njima. Najmanj ena izmed dveh pravokotnic na PQ skozi P in Q odreže na tej krivulji četrte stopnje štiri realne točke.

Uporaba v optiki[uredi | uredi kodo]

Že René Descartes (1596 – 1650) je odkril, da so Cartezijeve jajčnice primerne za oblikovanje leč. Če se izbere takšno takšno razmerje razdalj od P in Q, da je enako razmerju sinusov v lomnem zakonu, in uporabimo rotacijsko ploskev ene izmed teh jajčnic. V tem primeru lahko izdelamo nesferično lečo, ki nima sferne aberacije.

Kadar se sferna valovna fronta lomi na sfernih lečah ali kadar se odbije na vbočenih sfernih zrcalih, dobi lomljena ali odbita valovna fronta obliko Cartezijeve jajčnice. Kavstika, ki nastane zaradi sferne aberacije, se v tem primeru lahko opiše kot evoluta Cartezijeve jajčnice.

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]