Cartanova matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Cartanova matrika je v matematiki kvadratna matrika, ki ima celoštevilčne elemente (glej definicijo).

Imenuje se po francoskem matematiku Élieju Josephu Cartanu (1869 – 1951). Cartanove matrike je v okviru Liejevih algeber prvi proučeval nemški matematik Wilhelm Karl Joseph Killing (1847 – 1923).

Definicija[uredi | uredi kodo]

Posplošena Cartanova matrika je kvadratna matrika  A = (a_{ij}) \, z elementi, ki so cela števila tako, da je

  • diagonalni elementi so enaki  a_{ii} = 2 \,
  • nediagonalni elementi pa imajo vrednosti  a_{ij} \le 0 \,
  • elementi  a_{ij} = 0 \, samo, če in samo če je  a_{ji} = 0 \,
  • matriko  A \, lahko razčlenimo kot  DS \,, kjer je  D \, diagonalna matrika in  S \, simetrična matrika.

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Vedno lahko izberemo matriko  D \, tako, da imajo diagonalni elementi pozitivne vrednosti. V tem primeru pravimo, da je matrika  A \, Cartanova matrika, če je v zgornji razčlembi matrika   S \, pozitivno definitna.

Cartanova matrika v enostavni Liejevi algebri je matrika katere elementi so skalarni produkti

a_{ij}=2 {(r_i,r_j)\over (r_i,r_i)}

kjer je

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]