Bločna matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Bločna matrika (tudi deljena matrika) je matrika, katere elemente lahko razdelimo na dele (bloke).

Primer[uredi | uredi kodo]

Običajno matriko

\mathbf{P} = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 & 2\\
1 & 1 & 2 & 2\\
3 & 3 & 4 & 4\\
3 & 3 & 4 & 4\end{bmatrix}

lahko razdelimo na 4 skupine (bloke)  2 \times 2 \,

\mathbf{P}_{11} = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1 \end{bmatrix},   \mathbf{P}_{12} = \begin{bmatrix}
2 & 2\\
2 & 2\end{bmatrix},  \mathbf{P}_{21} = \begin{bmatrix}
3 & 3 \\
3 & 3 \end{bmatrix},   \mathbf{P}_{22} = \begin{bmatrix}
4 & 4\\
4 & 4\end{bmatrix}.

Tako razdeljeno matriko lahko pišemo kot

\mathbf{P} = \begin{bmatrix}
\mathbf{P}_{11} & \mathbf{P}_{12}\\
\mathbf{P}_{21} & \mathbf{P}_{22}\end{bmatrix}.

Množenje bločnih matrik[uredi | uredi kodo]

Množenje matrik, ki so razdeljene na bloke, lahko pretvorimo na množenje podmatrik.

Če imamo bločno matriko  A \, z razsežnostjo  m \times p \, , ki je razdeljena na  q \, vrstic in  s \, stolpcev


\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
\mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} & \cdots &\mathbf{A}_{1s}\\
\mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22} & \cdots &\mathbf{A}_{2s}\\
\vdots          & \vdots          & \ddots &\vdots \\
\mathbf{A}_{q1} & \mathbf{A}_{q2} & \cdots &\mathbf{A}_{qs}\end{bmatrix}


in bločno matriko  B \, z razsežnostjo  p \times n \,, ki je razdeljena na  s \, vrstic in  r \, stolpcev


\mathbf{B} = \begin{bmatrix}
\mathbf{B}_{11} & \mathbf{B}_{12} & \cdots &\mathbf{B}_{1r}\\
\mathbf{B}_{21} & \mathbf{B}_{22} & \cdots &\mathbf{B}_{2r}\\
\vdots          & \vdots          & \ddots &\vdots \\
\mathbf{B}_{s1} & \mathbf{B}_{s2} & \cdots &\mathbf{B}_{sr}\end{bmatrix},

potem nam zmnožek

 C = AB \,

da matriko z razsežnostjo  m \times n \,, ki je razdeljena na  q \, delov (blokov) v vrsticah in  r \, delov (blokov) v stolpcih. To je


\mathbf{C}_{\alpha \beta} = \sum^s_{\gamma=1}\mathbf{A}_{\alpha \gamma}\mathbf{B}_{\gamma \beta}. 
.

kjer je

  •  A_k \, kvadratna matrika v vrstici  k \,.

Bločna diagonalna matrika[uredi | uredi kodo]

Bločna diagonalna matrikaje kvadratna matrika, ki ima na glavni diagonali kvadratne matrike, na vseh blokih izven glavne diagonale pa so ničelne matrike. Takšna matrika ima obliko

 
\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 
\mathbf{A}_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \mathbf{A}_{2} & \cdots &  0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \mathbf{A}_{n} 
\end{bmatrix}

kjer je

  •  A_k \, kvadratna matrika .

Matrika  A \, je direktna vsota matrik  A_1, A_2,  \dots, A_n \,, ki jo zapišemo tudi kot  A_1 \oplus A_2 \oplus \dots \oplus A_n \,.

Determinanta, sled in obratna matrika[uredi | uredi kodo]

Za determinanto in sled bločne matrike velja

 \operatorname{det} \mathbf{A} = \operatorname{det} \mathbf{A}_1 \cdot \ldots \cdot \operatorname{det} \mathbf{A}_n
 \operatorname{sl} \mathbf{A} = \operatorname{sl} \mathbf{A}_1 +\cdots +\operatorname{sl} \mathbf{A}_n..

Obratna matrika bločne matrike je tudi obratna matrika, ki jo sestavljajo obratne matrike vsakega bloka

\begin{pmatrix}
\mathbf{A}_{1} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \mathbf{A}_{2} & \cdots &  0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \mathbf{A}_{n} 
\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} \mathbf{A}_{1}^{-1} & 0 & \cdots & 0 \\
 0 & \mathbf{A}_{2}^{-1} & \cdots &  0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \mathbf{A}_{n}^{-1} 
\end{pmatrix}.

Bločna tridiagonalna matrika[uredi | uredi kodo]

Bločna tridiagonalna matrika ima obliko

 
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
\mathbf{B}_{1}  & \mathbf{C}_{1}  &         &         & \cdots  &         & 0 \\
\mathbf{A}_{2}  & \mathbf{B}_{2}  & \mathbf{C}_{2}   &         &         &         & \\
       & \ddots & \ddots  & \ddots  &         &         & \vdots \\
       &        & \mathbf{A}_{k}   & \mathbf{B}_{k}   & \mathbf{C}_{k}   &         & \\
\vdots &        &         & \ddots  & \ddots  & \ddots  & \\
       &        &         &         & \mathbf{A}_{n-1} & \mathbf{B}_{n-1} & \mathbf{C}_{n-1}   \\
0      &        & \cdots  &         &         & \mathbf{A}_{n}   & \mathbf{B}_{n}
\end{bmatrix}

kjer je

  •  A_k \,,  B_k \,,  C_k \,kvadratna podmatrika na glavni diagonali ali spodnji ali zgornji stranski diagonali

Njeno strukturo pa lahko opišemo podobno kot pri tridiagonalni matriki

Bločna Teoplitzova matrika[uredi | uredi kodo]

Bločna Toeplitzova matrika ima podobno kot Toeplitzova matrika bloke, ki se ponavljajo vzdolž glavne diagonale matrike

 
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
\mathbf{A}_{(1,1)}  & \mathbf{A}_{(1,2)}  &         &         & \cdots  &     \mathbf{A}_{(1,n-1)}    & \mathbf{A}_{(1,n)} \\
\mathbf{A}_{(2,1)}  & \mathbf{A}_{(1,1)}  & \mathbf{A}_{(1,2)}   &         &         &         & \mathbf{A}_{(1,n-1)} \\
       & \ddots & \ddots  & \ddots  &         &         & \vdots \\
       &        & \mathbf{A}_{(2,1)}   & \mathbf{A}_{(1,1)}   & \mathbf{A}_{(1,2)}   &         & \\
\vdots &        &         & \ddots  & \ddots  & \ddots  & \\
\mathbf{A}_{(n-1,1)}       &        &         &         & \mathbf{A}_{(2,1)} & \mathbf{A}_{(1,1)} & \mathbf{A}_{(1,2)}   \\
\mathbf{A}_{(n,1)}      & \mathbf{A}_{(n-1,1)}       & \cdots  &         &         & \mathbf{A}_{(2,1)}   & \mathbf{A}_{(1,1)}
\end{bmatrix}.
.

Direktna vsota[uredi | uredi kodo]

Direktna vsota (oznaka  \oplus \,) matrike  A \, z razsežnostjo  m \times n \, in matrike  B \, z razsežnostjo  p \times q \, je določena kot


  \mathbf{A} \oplus \mathbf{B} =
  \begin{bmatrix}
     a_{11} & \cdots & a_{1n} &      0 & \cdots &      0 \\
     \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
    a_{m 1} & \cdots & a_{mn} &      0 & \cdots &      0 \\
          0 & \cdots &      0 & b_{11} & \cdots &  b_{1q} \\
     \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
          0 & \cdots &      0 & b_{p1} & \cdots &  b_{pq} 
  \end{bmatrix}.
.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]