Bertrandov izrek

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Bertrandov izrék [bertránov ~] v klasični mehaniki pravi, da le za dva tipa potencialov obstajajo stabilni sklenjeni tiri (orbite), za obratno kvadratno centralno silo, kot sta gravitacijski ali elektrostatski potencial:

 V(\vec\mathbf{r}) = \frac{-k}{r} \!\, ,

in za preprost potencial radialnega harmoničnega oscilatorja:

 V(\vec\mathbf{r}) = \frac{k r^{2}}{2} \!\, .

Izrek se imenuje po Josephu Louisu Françoisu Bertrandu, ki ga je leta 1873 objavil.[1]

Splošna priprava[uredi | uredi kodo]

Vse privlačne centralne sile lahko povzročajo krožne tire, ki so seveda sklenjene. Edina zahteva je, da je centralna sila natančno enaka centripetalni sili, ki določa ustrezno kotno hitrost za dani krožni polmer. Necentralne sile - tiste, ki so odvisne od kotnih spremenljivk, in tudi od polmera - se tukaj ne upoštevajo, ker v splošnem ne povzročajo krožnih tirov.

Enačba gibanja na polmeru r za delec z maso m, ki se giblje v centralnem potencialu V(r), je dana z Euler-Lagrangeevimi enačbami:

 m\frac{\mathrm{d}^{2}r}{\mathrm{d}t^{2}} - mr \omega^{2} = m\frac{\mathrm{d}^{2}r}{\mathrm{d}t^{2}} - \frac{\Gamma^{2}}{mr^{3}} = -\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}  \!\, .

Pri tem se \omega \equiv \mathrm{d} \theta / \mathrm{d}t\!\, in vrtilna količina \Gamma = mr^{2}\omega\!\, ohranjata. Prvi člen na levi strani je za krožne tire enak 0, sila  \mathrm{d}V / \mathrm{d}r\!\,, ki deluje navzven, je enaka centripetalni sili mr \omega^{2}\!\,, kot pričakujemo.

Definicija vrtilne količine omogoča spremembo odvisne spremenljivke iz t v \theta:

 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} = \frac{\Gamma}{mr^{2}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} \!\,

kar da novo gibalno enačbo neodvisno od časa:

 \frac{\Gamma}{r^{2}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} \left( \frac{L}{mr^{2}} \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta} \right)- \frac{\Gamma^{2}}{mr^{3}} = -\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} \!\, .

Ta enačba postane kvazilinearna pri zamenjavi spremenljivk u \equiv 1 /r \!\, in množenju obeh strani z  mr^{2} /\Gamma^{2}\!\,:

 \frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}} + u = -\frac{m}{\Gamma^{2}}  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u} V\left( \frac{1}{u}  \right) \!\, .

Bertrandov izrek[uredi | uredi kodo]

Kot je omenjeno zgoraj, lahko centralne sile za dano začetno hitrost povzročajo krožne tire. Vendar pri določeni radialni hitrosti ti tiri niso nujno stabilni ali sklenjeni. Stabilne in strogo sklenjene tire lahko povzročajo le obratne kvadratne sile in potencial radialnega harmoničnega oscilatorja (pokazana sta potreben in zadosten pogoj).

V enačbo za u zaradi zgoščenega zapisa uvedemo funkcijo J(u)\!\,:

 \frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}} + u = J(u) \equiv -\frac{m}{\Gamma^{2}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u} V(1/u) = -\frac{m}{\Gamma^{2}u^{2}} f(1/u) \!\, ,

kjer f predstavlja radialno silo. Po kriteriju za popolno krožno gibanje pri polmeru r_{0} mora biti prvi člen na levi strani enak 0:

 u_{0} = J(u_{0}) \!\, ,

kjer je u_{0} \equiv 1/r_{0}.

V naslednjem koraku obravnavamo enačbo za u pri majhnih motnjah \eta \equiv u - u_{0} iz popolnoma krožnih tirov. Na desni strani lahko funkcijo J razvijemo v standardno Taylorjevo vrsto:

 J(u) \approx u_{0} + \eta J^{\prime}(u_{0}) + \frac{1}{2} \eta^{2} J^{\prime\prime}(u_{0}) + \frac{1}{6} \eta^{3} J^{\prime\prime\prime}(u_{0}) + \ldots \!\, .

Če vstavimo ta razvoj v enačbo za u in odštejemo konstantne člene, dobimo:

 \frac{\mathrm{d}^{2}\eta}{\mathrm{d}\theta^{2}} + \eta  = \eta J^{\prime}(u_{0}) + \frac{1}{2} \eta^{2} J^{\prime\prime}(u_{0}) + \frac{1}{6} \eta^{3} J^{\prime\prime\prime}(u_{0}) \ldots \!\, ,

kar lahko zapišemo kot:

 \frac{\mathrm{d}^{2}\eta}{\mathrm{d}\theta^{2}} + \beta^{2} \eta  = \frac{1}{2} \eta^{2} J^{\prime\prime}(u_{0}) + \frac{1}{6} \eta^{3} J^{\prime\prime\prime}(u_{0}) \ldots \!\, ,

kjer je \beta^{2} \equiv 1 - J^{\prime}(u_{0}) konstanta. \beta^{2} mora biti nenegativna, drugače se bo polmer tira spreminjal eksponentno od vrednosti začetnega polmera. (Rešitev \beta=0 odgovarja popolnoma krožnemu tiru.) Če lahko zanemarimo desno stran (npr. pri zelo malih motnjah), so rešitve:

 \eta(\theta) = h_{1} \cos \beta\theta \!\, ,

kjer je h_{1} integracijska konstanta. Da so tiri sklenjeni, mora biti \beta racionalno število. Mora biti tudi enako racionalno število za vse polmere, saj se \beta ne more vseskozi spreminjati; racionalna števila so med seboj popolnoma nepovezana. Ker morajo enačbe iz definicije:

 J^{\prime}(u_{0}) \equiv -2 + \frac{u_{0}}{f(1/u_{0})} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u} = 1 - \beta^{2} \!\,

veljati za poljubno vrednost u_{0}, lahko zapišemo:

 \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}r} = \left( \beta^{2} - 3 \right) \frac{f}{r} \!\, ,

od koder sledi, da mora za silo veljati potenčni zakon:

 f(r) = - \frac{k}{r^{3-\beta^{2}}} \!\, .

Zaradi tega mora J imeti splošno obliko:

 J(u) = \frac{mk}{\Gamma^{2}} u^{1-\beta^{2}} \!\, .

Za bolj splošne razlike od krožnosti, (če npr. v razvoju J v Taylorjevo vrsto ne moremo zanemariti člene višjih redov), lahko \eta razvijemo v Fourierjevo vrsto, na primer:

 \eta(\theta) = h_{0} + h_{1} \cos \beta \theta + h_{2} \cos 2\beta \theta + h_{3} \cos 3\beta \theta + \ldots \!\, .

Če to rešitev vstavimo v obe strani enačbe za \eta in izenačimo koeficiente, ki pripadajo isti frekvenci, dobimo sistem enačb:

 h_{0} = h_{1}^{2} \frac{J^{\prime\prime}(u_{0})}{4\beta^{2}} \!\, ,
 h_{2} = -h_{1}^{2} \frac{J^{\prime\prime}(u_{0})}{12\beta^{2}} \!\, ,
 h_{3} = -\frac{1}{8\beta^{3}} \left[ h_{1}h_{2} \frac{J^{\prime\prime}(u_{0})}{2} +
h_{1}^{3} \frac{J^{\prime\prime\prime}(u_{0})}{24} \right] \!\, ,

in, kar je najpomembnejše:

 \left( 2 h_{1} h_{0} + h_{1} h_{2} \right) \frac{J^{\prime\prime}(u_{0})}{2} + 
h_{1}^{3} \frac{J^{\prime\prime\prime}(u_{0})}{8} = 0 \!\, .

Zadnja enačba skupaj z enačbo za J, izražena z \beta, vodi do glavnega rezultata Bertrandovega izreka:

 \beta^{2} \left( 1 - \beta^{2} \right) \left( 4 - \beta^{2} \right) = 0 \!\, .

Tako so edini potenciali, ki lahko povzročajo stabilne, sklenjene, nekrožne tire, obratni kvadratni zakon sile (\beta = 1) in potencial radialnega harmoničnega oscilatorja (\beta = 2). Rešitev \beta = 0 odgovarja popolnoma krožnim tirom, kar je omenjeno zgoraj; negativni rešitvi \beta = \{-1, -2\} pa nimata fizikalnega pomena.

Obratna kvadratna sila (Keplerjev problem)[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Keplerjev problem.

Za obratni kvadratni zakon sile, kot sta gravitacijski ali elekstrostatični potencial, lahko zapišemo potencial kot:

 V(\vec\mathbf{r}) = \frac{-k}{r} = -ku \!\, .

Tir u(\theta) lahko izpeljemo iz splošne enačbe:

 \frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}} + u = -\frac{m}{L^{2}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u} V(1/u) = \frac{km}{L^{2}} \!\, ,

katere rešitev je konstanta \frac{km}{L^{2}} s preprosto sinusoido:

 u \equiv \frac{1}{r} = \frac{km}{L^{2}} \left[ 1 + e \cos \left( \theta - \theta_{0}\right) \right] \!\, .

Tu sta e (izsrednost) in \theta_{0} (fazni premik) integracijski konstanti.

To je splošna enačba za stožnico z goriščem v izhodišču; e=0 odgovarja krožnici, e<1 elipsi, e=1 paraboli, e>1 pa hiperboli. Izsrednost e je povezana s skupno energijo E (glej na primer Laplace-Runge-Lenzov vektor):

 e = \sqrt{1 + \frac{2EL^{2}}{k^{2}m}} \!\, .

Primerjava teh enačb kaže, da E<0 odgovarja elipsi, E=0 paraboli, E>0 pa hiperboli. Posebni primer, ko je:

 E=-\frac{k^{2}m}{2L^{2}} \!\, ,

odgovarja popolnoma krožnim tirom.

Radialni harmonični oscilator[uredi | uredi kodo]

Računanje tira v potencialu radialnega harmoničnega oscilatorja je lažje z vektorskimi komponentami \vec\mathbf{r} = (x, y, z). Potencialno energijo lahko zapišemo kot:

 V(\vec\mathbf{r}) = \frac{1}{2} kr^{2} = \frac{1}{2} k \left( x^{2} + y^{2} + z^{2}\right) \!\, .

Enačba gibanja za telo z maso m je dana s tremi neodvisnimi Euler-Lagrangeovimi enačbami:

 \frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}} + \omega_{0}^{2} x = 0 \!\, ,
 \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}} + \omega_{0}^{2} y = 0 \!\, ,
 \frac{\mathrm{d}^{2}z}{\mathrm{d}t^{2}} + \omega_{0}^{2} z = 0 \!\, ,

kjer mora biti konstanta \omega_{0}^{2} \equiv \frac{k}{m} pozitivna, oziroma k>0, da so tiri omejini in sklenjeni. Drugače bi telo odneslo v neskončnost.Rešitve tega preprostega harmoničnega oscilatorja so si podobne:

 x = A_{x} \cos \left(\omega_{0} t + \phi_{x} \right) \!\, ,
 y = A_{y} \cos \left(\omega_{0} t + \phi_{y} \right) \!\, ,
 z = A_{z} \cos \left(\omega_{0} t + \phi_{z} \right) \!\, .

Tu pozitivne konstante A_{x}, A_{y} in A_{z} predstavljajo amplitude nihanj, koti \phi_{x}, \phi_{y} in \phi_{z} pa njihove faze. Tir \mathbf{r}(t) = \left[ x(t), y(y), z(t) \right] je sklenjen, ker se ponovi ravno po periodi:

 T \equiv \frac{2\pi}{\omega_{0}} \!\, .

Sistem je tudi stabilen, ker majhna odstopanja amplitud in faz povzročajo odgovarjajoče majhne spremembe na celotnem tiru.

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Bertrand (1873).

Viri[uredi | uredi kodo]