Barometrska enačba

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Barométrska enáčba opisuje pojemanje tlaka p z višino z v izotermni atmosferi:

p(z) = p_0 e^{-z/z_0}

V realni atmosferi se temperatura z višino spreminja, zato velja ta zveza le približno.

Hidrostatična izpeljava[uredi | uredi kodo]

Izhajamo iz enačbe za hidrostatični tlak:

\frac{dp}{dz} = -\rho g

Iz splošne plinske enačbe lahko izrazimo gostoto ρ:

\rho = \frac{M p}{R T}

Ko to vstavimo v prejšnjo enačbo in preuredimo, dobimo

\frac{dp}{p} = - \frac{M g}{R T} dz = -\frac{dz}{z_0}

Vpeljali smo oznako z0 = R T / M g. Enačbo na levi strani najprej integriramo od p0 do p, na desni pa od 0 do z, zatem pa jo še antilogaritmiramo, pa dobimo

p = p_0 e^{-z/z_0}

Statističnomehanska izpeljava[uredi | uredi kodo]

Izhajamo iz dejstva, da mora biti v ravnovesju kemijski potencial za vsako plast atmosfere enak. V nasprotnem primeru bi neenakost kemijskih potencialov privedla do prenosa snovi med plastmi in porazdelitev snovi v atmosferi ne bi bila ravnovesna.

Razliko kemijskih potencialov med izbrano referenčno ravnino (z = 0) in poljubno drugo ravnino pri izbrani temperaturi T zapišemo kot:

\mu - \mu_0 = \overline{H} - \overline{H}_0 + RT \ln \frac{p}{p_0}

Pri tem je μ kemijski potencial, μ0 njegova vrednost pri z = 0, \overline{H} entalpija na mol in \overline{H}_0 njena vrednost pri z = 0, p tlak in p0 njegova vrednost pri z = 0, R pa splošna plinska konstanta. Zadnji člen izvira iz izraza za spremembo entropije pri izotermni spremembi.

Brez izgube splošnosti lahko postavimo \overline{H}_0 = 0. Na višini z je entalpija večja od referenčne za težnostno potencialno energijo:

\overline{H} = Mgz

Pri tem je M molska masa plina, g pa težni pospešek. Odtod dobimo zvezo:

Mgz = -RT \ln \frac{p}{p_0}

Če jo antilogaritmiramo, dobimo izraz za pojemanje gostote z višino:

p(z) = p_0 \exp\left( -\frac{Mgz}{RT} \right)

Izraz je identičen prej izpeljanemu, če postavimo z0 = RT/Mg.