Avtomorfizem

Avtomorfizem (iz grške besede αὐτός: autos - sam in μορφή: morfe - oblika) je izomorfizem iz matematičnega objekta v samega sebe. Na neki način je to simetrija objekta in način preslikave objekta v samega sebe tako, da pri tem ohrani vse značilnosti svoje strukture. Množica vseh avtomorfizmov nekega objekta tvori grupo, ki ima avtomorfizem grupe.

Avtomorfizem grupe

Kadar avtomorfizmi nekega objekta $X \,$ tvorijo množico, potem tvorijo grupo za kompozitum morfizmov. Rečemo, da ima takšna grupa avtomorfizem grupe za objekte $X \,$.

Avtomorfizem grupe objekta $X \,$ iz kategorije $C \,$ označujemo z $\text {Aut}_C (X)$ ali poenostavljeno $\text {Aut}(X)$.

Zgledi in značilnosti

• V teoriji množic je avtomorfizem množice $X \,$ poljubna permutacija elementov iz množice $X \,$. Grupa izomorfizmov množice $X \,$ se imenuje tudi simetrična grupa elementov $X \,$.
• V elementarni aritmetiki se množica celih števil (označujemo jo z $Z \,$) obravnava kot grupa s seštevanjem, ki ima netrivialni avtomorfizem, ki ga imenujemo negacija. Če pa obravnavamo kolobar ima ta samo trivialni avtomorfizem. V splošnem je negacija avtomorfizem vsake Abelove grupe, ne pa kolobarja ali obsega.
• Avtomorfizem grupe je izomorfizem grupe iz grupe v samega sebe. To je permutacija elementov grupe tako, da ostane struktura nespremenjena.
• V linearni algebri je endomorfizem vektorskega prostora $V \,$ linearna preslikava $V \to V$. Avtomorfizem je obrnljivi linearni operator nad $V$.
• Avtomorfizem obsega je bijektivni homomorfizem kolobarja iz obsega v samega sebe. V primeru racionalnih števil (Q) in [[realno število|realnih števil] (R) ni netrivialnih avtomorfizmov obsegov. Nekaj podobsegov iz R ima netrivialni izomorfizem obsega, ki pa se ne velja za vse elemente R. Pri kompleksnih številih C je enolični netrivialni avtomorfizem, ki vsakemu

R pripiše element v R. To je kompleksna konjugacija.

• V teoriji grafov je avtomorfizem grafov permutacija vozlov, ki ohranja robove in nerobove
• V topologiji se morfizem med topološkimi prostori imenuje zvezna preslikava. Avtomorfizem topološkega prostora je homoemorfizem prostora v sebe.
• V Riemannovi geometriji je avtomorfizem sebi izometrija. Grupa avtomorfizmov se imenuje izometrijska grupa
• V kategoriji Riemannovih ploskev je avtomorfizem bijektivna biholomorfna preslikava iz ploskve na sebe.

Notranji in zunanji avtomorfizem

V nekaterih kategorijah kot so grupa, kolobarji in Liejeve algebre lahko ločimo avtomorfizme na "notranje" in "zunanje" avtomorfizme.

V primeru grup je notranji avtomorfizem konjugacija elementov grupe. Za vsak element $a \,$ grupe $G \,$ je konjugacija po $a \,$ je operacija $\phi_a \text { }: \text { }G\to G$, ki je dana z $\phi_a (g) = aga^{-1}$. Lahko se dokaže, da je konjugacija po $a \,$ grupni avtomorfizem. Notranji avtomorfizem tvori normalno podgrupo $\text {Aut(G)}$, ki jo označujemo z $\text {Inn(G)}$.

Vsi ostali avtomorfizmi se imenujejo zunanji avtomorfizmi. Grupa kvocientov (faktorska grupa) $\text {Aut(G)}/ \text {Inn(G)}$ se pogosto označuje kot $\text {Out(G)}$.

Glej tudi

• morfizem
• kolobar endomorfizmov
• Frobeniusov avtomorfizem

Zunanje povezave

• Avtomorfizem na MathWorld (v angleščini)
• Avtomorfizem na PlanetMath (v angleščini)
• Grupa avtomorfizmov (v angleščini)
• Grupa avtomorfizmov na MathWorld (v angleščini)
• Grupa avtomorfizmov na PlanetMath (v angleščini)