Aditivna konstanta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Aditívna konstánta, konstánta integrácije ali integracíjska konstánta (običajna oznaka C, tudi c in v fiziki pri integraciji včasih tudi \mathrm{konst.}) je v infinitezimalnem računu in matematični analizi poljubno število, ki se pojavlja pri nedoločenem integralu dane (izvorne) funkcije (množici vseh primitivnih funkcij, oziroma prvotnih funkcij). Ta konstanta izraža nejasnost, ki je svojstvena konstrukciji primitivnih funkcij. Če je funkcija f(x) definirana na intervalu in je F(x) primitivna funkcija funkcije f(x), je množica vseh primitivnih funkcij funkcije f(x) dana s funkcijami F(x) + C, kjer je C poljubna konstanta.

Izvor konstante[uredi | uredi kodo]

Različne primitivne funkcije F_{i}(x) dane (izvorne) funkcije f(x). V tem primeru je f(x) = 3x^{2}-2

Odvod poljubne konstantne funkcije je enak 0. Ko najdemo primitivno funkcijo F(x), nam prištevanje ali odštevanje konstante C da drugo primitivno funkcijo, ker je:

 (F(x) + C)' = F\,'(x) + C\,' = F\,'(x) \!\, .

Konstanta je način izražave, da ima vsaka funkcija neskončno mnogo različnih primitivnih funkcij. Primitivna funkcija ali nedoločeni integral je tako množica vseh funkcij F(x), katerih odvodi so enaki f(x), oziroma:

 F'(x) = f(x) \!\, ,

ali tudi, katerih diferenciali so enaki:

 \mathrm{d}F(x) = f(x) \mathrm{d}x \!\, .

Razlika dveh primitivnih funkcij F_{1} in F_{2} funkcije f(x) je konstanta;

 F_{1} - F_{2} = C \!\,

in nedoločeni integral kot množico po navadi zapišemo kot:

 \int f(x) \mathrm{d}x = F(x) + C \!\, .

Želimo na primer najti primitivne funkcije \cos x. Ena je \sin x. Druga je \sin x+1. Tretja je \sin x-\pi. Odvod vsake od teh je enak \cos x, in so tako vse primitivne funkcije \cos x.

Izkaže se, da je prištevanje ali odštevanje konstant edina možnost, ki jo imamo na razpolago pri iskanju različnih primitivnih funkcij iste funkcije. Vse primitivne funkcije so enake do konstante. To dejstvo za \cos x zapišemo:

\int \cos x \,\mathrm{d}x = \sin x + C \!\, .

Če zamenjamo C s številom, dobimo primitivno funkcijo. Če zgoraj namesto števila zapišemo C, dobimo v zgoščeni obliki vse možne primitivne funkcije \cos x. C je aditivna konstanta. Preprosto se lahko prepričamo, da so vse te funkcije res primitivne funkcije \cos x:

 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} [\sin x + C] = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} [\sin x] + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} [C] = \cos x + 0 = \cos x  \!\, .

Nujnost konstante[uredi | uredi kodo]

Na prvi pogled se zdi, da konstanta ni potrebna, ker lahko zavzame tudi vrednost 0. Pri računanju določenega integrala se po osnovnem izreku matematične analize konstanta vedno izniči.

Vedno enačiti konstanto z 0 pa ni smiselno. Funkcijo 2\sin x \cos x lahko integriramo na dva načina:

 \begin{align}
\int 2\sin x \cos x \,\mathrm{d}x &=&  \sin^{2} x  + C &=& -\cos^{2} x + 1 + C \\
\int 2\sin x \cos x \,\mathrm{d}x &=& -\cos^{2} x + C &=&  \sin^{2} x  - 1 + C \!\, . 
\end{align}

Če enačimo C z 0, konstanta še vedno ostaja. To pomeni, da za dano funkcijo ne obstaja »najpreprostejša primitivna funkcija«. Če aditivno konstanto zanemarimo, lahko skonstruiramo napačni dokaz, da velja 1 = 0, kar mora biti očitno napačno.

Drug problem pri vrednosti C = 0 je, da včasih želimo poiskati primitivno funkcijo, ki ima dano vrednost v dani točki, kot na primer v problemu začetne vrednosti. Če želimo najti primitivno funkcijo za \cos(x), ki ima vrednost 100 v točki x = π, je edina vrednost za C enaka C = 100.

To omejitev lahko drugače izrazimo z jezikom diferencialnih enačb. Iskanje nedoločenega integrala funkcije f(x) je isto kot reševanje diferencialne enačbe \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(x). Vsaka diferencialna enačba bo imela mnogo rešitev in vsaka konstanta predstavlja enolično rešitev dobro zastavljenega problema začetnih vrednosti. Če za pogoj privzamemo, da zavzame naša primitivna funkcija vrednost 100 v točki x = π, imamo začetni pogoj. Vsak začetni pogoj odgovarja samo eni vrednosti C, tako da brez konstante C ne bi mogli rešiti problema.

Iz abstraktne algebre prihaja še druga stvar. Prostor vseh (primernih) realnih funkcij na realnih številih je vektorski prostor in diferencialni operator \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} je linearni operator. Operator \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} preslika funkcijo v 0, samo če je ta funkcija konstanta. Zaradi tega je jedro \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} prostor vseh konstantnih funkcij. Proces iskanja nedoločenega integrala je iskanje praslike dane funkcije. Ne obstaja kanonična praslika dane funkcije, množica vse takšnih praslik tvori somnožico. Izbira konstante je enaka izbiri elementa somnožice. V tem smislu je reševanje problema začetnih vrednosti predstavljeno kot lega v hiperravnini, ki je dana z začetnimi pogoji.

Razlika primitivnih funkcij[uredi | uredi kodo]

Naj sta F_{1}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} in F_{2}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} dve povsod odvedljivi funkciji. Naj pri tem velja F_{1}\,'(x) = F_{2}\,'(x) za vsak realni x. Potem obstaja takšno realno število C, da bo razlika F_{1}(x) - F_{2}(x) = C za vsak realni x.

Opazimo, da velja [F_{1}(x) - F_{2}(x)]' = 0. Tako lahko F_{1} zamenjamo z F_{1} - F_{2} in F_{2} s konstantno funkcijo 0, kar nas vodi do dokaza, da mora biti povsod odvedljiva funkcija, katere primitivna funkcija je vedno 0, konstanta:

Izberemo realno število a in naj velja C = F(a). Za vsak x je po osnovnem izreku analize:

 \int_a^x 0\,\mathrm{d}t = F(x)-F(a) = F(x)-C \!\, ,

kar pomeni, da je F(x)=C, in F je konstantna funkcija.

Dve dejstvi sta pomembni pri tem dokazu. Realna premica je povezana. Če ne bi bila, ne bi mogli zmeraj integrirati v mejah od dane vrednosti a do poljubne vrednosti x. Če moramo na primer iskati funkciji, definirani na uniji intervalov [0,1] in [2,3], pri čemer je a enak 0, potem ne bi mogli najti integrala v mejah od 0 do 3, saj funkcija med 1 in 2 ni definirana. Tako bi imeli dve konstanti, vsako za posamezno povezano komponento domene. V splošnem lahko razširimo ta izrek na nepovezane domene z zamenjavo konstant z lokalno konstantnimi funkcijami.

Predpostavili smo, da sta F_{1} in F_{2} povsod odvedljivi. Če nista odvedljivi vsaj v eni točki, izrek ne velja. Naj je primitivna funkcija F_{1}(x) Heavisidova skočna funkcija, enaka 0 za negativne vrednosti x in 1 za nenegativna vrednosti x. Naj je še F_{2}(x)=0. Potem je odvod F_{1} enak 0, kjer je definirana, in odvod od F_{2} je vedno enak 0. Jasno je, da se F_{1} in F_{2} ne razlikujeta za konstanto.

Tudi, če predpostavimo, da sta F_{1} in F_{2} povsod zvezni in skoraj povsod odvedljivi, izrek še vedno ne velja. Naj je sedaj F_{1} Cantorjeva funkcija in naj je spet F_{2} = 0.