1 + 1 + 1 + 1 + · · ·

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Vrsta 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
Po glajenju
Asimptotično obnašanje glajenja. Premica seka os y v točki −1/2, kar je zeta-regularizirana vsota vrste.[1]

1 + 1 + 1 + 1 + · · · je v matematiki divergentna geometrična vrsta, kar pomeni, da nima vsote v običajnem smislu. Njene delne vsote naraščajo brez meja in ne konvergirajo k realni limiti. Enake so naravnim številom (OEIS A000027):

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...

Z znakom za vsoto lahko vrsto zapišemo kot:

 \sum_{n=1}^{\infty} 1^{n} = \sum_{n=1}^{\infty} n^{0} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{0}} \!\,

ali preprosto:

 \sum_{n=1}^{\infty} 1 \!\,

Na zaporedje 1^{n}\, lahko gledamo kot na geometrično vrsto s količnikom 1. Za razliko od drugih geometričnih vrst z racionalnim količnikom (razen -1) ne konvergira v realnih številih in tudi ne v p-adičnih številih za poljuben p. V smislu razširjene realne premice je vsota enaka:

 \sum_{n=1}^{\infin} 1 = +\infty \!\, ,

ker njeno zaporedje delnih vsot narašča monotono brez meja.

Če se vrsta 1 + 1 + 1 + 1 + · · · pojavi pri fizikalnih problemih, jo lahko včasih predstavimo s pomočjo regularizacije s funkcijo ζ. Njena vrednost je enaka vrednosti v točki s = 0 Riemannove funkcije ζ:

 \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}=\frac{1}{1-2^{1-s}}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} \!\, ,

kjer sta dve neskončni vsoti enaki znotraj območja, v katerem obe konvergirata (kompleksna števila z realnim delom večjim od 1). Druga vsota zagotavlja analitično nadaljevanje funkcije ζ na kompleksna števila s pozitivnim realnim delom, limita druge vsote, ko gre s proti 0, pa je enaka -1/2. V tem smislu je tako:

 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots = \zeta (0) = - \frac{1}{2} \!\, .

Elizalde je podal naslednjo anekdoto o odnosih do vrste:

 »V kratkem obdobju manj kot enega leta sta imela dva priznana fizika, A. Slavnov in F. Yndurain, seminarja v Barceloni o dveh različnih temah. Nenavadno pri tem je bilo to, da sta oba predavatelja v nekem trenutku rekla poslušalcem: 'Kot vsakdo ve, velja: 1 + 1 + 1 + · · · = −12'. S tem sta morda hotela reči: Če tega ne veste, potem nima smisla da poslušate naprej.[2]

Tudi njena ustrezna alternirajoča vrsta:

 \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} = 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots \!\, ,

včasih imenovana Grandijeva vrsta, je divergentna.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]