Šnireljmanova gostota

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Šnireljmanova gostota (tudi gostota zaporedja) zaporedja v matematiki pove, kako »gosto« je to zaporedje. Pojem iz splošne aditivne teorije števil je leta 1930 uvedel ruski matematik Lev Genrihovič Šnireljman.

Intuitivno vemo, da obstaja »več« lihih števil kot kvadratnih števil. Množica lihih števil v bistvu ni »večja« od množice popolnih kvadratov, saj sta obe neskončni in števni. Med njima zatorej obstaja bijektivna preslikava - vsakemu elementu ene množice tako ustreza natančno en element druge množice. S Šnirejmanovo gostoto natančneje izrazimo naše intuitivno zapažanje.

Za vsako celo število n > 0 naj je število členov zaporedja

A(n) = A\cap \{1, 2, \ldots n\}

Šnireljmanova gostota podmnožice A množice N nenegativnih celih števil je potem največja spodnja meja ulomkov A(n)/n

\sigma A = \inf_{n > 0} \frac{A(n)}{n}

Šnireljmanovo gostoto označujejo še z α ali δ(A).

Ta definicija razrešuje očiten problem z enostavno določitvijo gostote kot limite A(n)/n, saj ni nujno, da ta obstaja. Šnireljmanova gostota na drugi strani vedno obstaja.

Šnireljmanova funkcija gostote σ ima naslednje lastnosti:

  1. Za vsak n, A(n) > n · σA.
  2. σA = 1, tedaj in le tedaj AN.
  3. Če 1 \notin A, je σA = 0.
  4. Če 0 ∈ A ∩ B, je σ(A + B) ≥ σA + σB - σA · σB
  5. Če je σA + σB ≥ 1, velja σ(A + B) = 1.
  6. Če je σA > 0, je A aditivna baza.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]